长春市十一高中2013-2014学年度高一下学期期中考试

数 学 试 题

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间120分钟。

第一部分（选择题）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．在△ABC中，a＝2，b＝，A＝45°，则B等于(　　)

A．45°　　　　　 B．30° C．60° D．30°或150°

2．若△ABC中，sin A∶sin B∶sinC＝2∶3∶4，那么cos C＝(　　)

A．－ B. C．－ D.

3．已知关于x的不等式<2的解集为P，若1P，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B．[－1,0]

C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1,0]

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. B. C．200 D．240

5．函数y＝log2(x＋＋5)(x>1)的最小值为(　　)

A．－3 B．3 C．4 D．－4

6．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4

C．－2

7．若
且
，则
的最小值为( )

A． B． C．
D．

8．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（ ）

A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1,2)

9．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B． (－∞，－ 1]∪[3，＋∞)

C．[3，＋∞) D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)

10．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为
和
，且
＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

11.直角三角形的斜边长为，则其内切圆半径的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.数列
前项和为
，已知
，且对任意正整数、，都有
，若
恒成立则实数
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题）

二、填空题（每题4分，共16分）

13．已知－1，a1，a2，8成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，那么的值为________．

14．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

15．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．

16．在使f(x)≥M成立的所有常数M中，把M的最大值叫做f(x)的“下确界”，例如f(x)＝x2＋2x≥M，则Mmax＝－1，故－1是f(x)＝x2＋2x的下确界，那么(其中a，b∈R，且a，b不全为0)的下确界是________．

三、解答题（本大题共4小题，共44分）

17．(本小题满分10分)

一个各项都是正数的无穷等差数列{
}，
和
是方程
的两个根，求它的通项公式.

18．(本小题满分10分)

已知函数f(x)＝x2－2x－8，若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．

19．(本小题满分12分)

在
中，
分别是
的对边长，已知
.

(Ⅰ)若
,求实数的值；

(Ⅱ)若
,求
面积的最大值.

20．(本小题满分
分)

已知数列{
}的前项和为
，且满足

，
.

(Ⅰ)求证：{
}是等差数列；

(Ⅱ)若
，求证：
＋
＋…＋

.

附加题（10分）（计入总分）：

已知
，若对任意
，不等
恒成立，求实数的取值范围．

长春市十一高中2013-2014学年度高一数学下学期期中考试答案

一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

B

C

B

D

C

C

B

D

B

A





二、填空题（本题共4个小题。每小题4分，共16分）

13．；－5 14．5 ； 15  ； 16． ；

三、 解答题（总分44分）

17．(本小题满分10分)．

解：a1+a3=8, a1a3=7,又{an}为正数等差数列，所以a1=1，a3=7，---------5分

设公差为d,又∵a3=a1+2d,∴7=1+2d,故d=3,an=3n-2.----------10分

18．(本小题满分10分)

解：∵f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．-------------------------5分

而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．∴实数m的取值范围是

(－∞，2]．---------------------10分

19．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ) 由
得：
2分

解得:
3分

而
可以变形为
4分

即
，所以
6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,则
7分

又
8分

所以
即
10分

故
12分

20．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)-----------2分

Sn≠0，∴－＝2，又＝＝2---------------------4分

∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列.---------------5分

(Ⅱ)由（1）＝2＋(n－1)2＝2n，∴Sn＝-------------7分

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－

n＝1时，a1＝S1＝，∴an＝---------9分

由此知bn＝2(1－n)an＝---------------10分

∴b22＋b32＋…＋bn2＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.---------12分

附加题（10分）（计入总分）：

解：有题设知，
，则
，因此原不等式等价于

在R上市增函数，
，而
，又
当
时，
取得最小值，
，因此
，解得
，又

故