高一下学期期中考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 已知
均为单位向量，它们的夹角为
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的

夹角为 ( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

3.
（　　）

A、
B、
C、
D、

4. 已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( )

A.1或－
B.1 C.－
D.－2

5. 设a＝(sin56°－cos56°)， b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，

c＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是 ( )

A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b

6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则角A的

大小为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的部分图象如图所示，则
的值是（ ）

A、0 B、－1

C、2＋2
D、2－2

8. 将正偶数按下表排成4列：

第1列 第2列 第3列 第4列

第1行 2 4 6 8

第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24

… … 28 26

则2 004在 ( )

(A)第251行，第1列 (B)第251行，第2列

(C)第250行，第2列 (D)第250行，第4列

9. 如图BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且
,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则
的值是 （ ）

A．
B．
C.
D．

10. 设等差数列
满足：
，公差
．若当且仅当
时，数列
的前项和
取得最大值，则首项
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)

11. 在等差数列
中，已知
，则
．

12．已知点
、
、
、
，则向量
在
方向上的投影为:

13. 数列{an}的通项公式为an＝
已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于：

14. ①设a，b是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b =0

②若

③在△ABC中，若
，则△ABC是等腰三角形

④在
中，
，边长a,c分别为a=4,c=
，则
只有一解。

上面说法中正确的是

15．已知函数f(x)＝2sinωx（ω＞0）在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围

是：

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程

及演算步骤。

16．(12分) 已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若
，求
的值；

18．(12分) 已知函数f(x)=msinx+
cosx(m>0)的最大值为2.

(1)求函数f(x)在［0,π］上的单调递减区间；

(2)△ABC中，
角A，B，C所对的边分别是a,b,c,

且C=60°，c=3，求△ABC的面积.

19．(12分) 已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=(an+1)2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn=
，数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值；

21．(14分)将数列
中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

已知表中的第一列数
构成一个等差数列, 记为
, 且
, 表中每一行正中间一个数
构成数列
, 其前n项和为
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)若上表中, 从第二行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 公比为同一个正数, 且
.①求
；②记
, 若集合M的元素个数为3, 求实数的取值范围

长阳一中2013-2014学年度第二学期期中考试

高一理科数学试卷答案（仅供参考）

所以函数
的最小正周期为

因为
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，又

，所以函数
在区间
上的最大值为2，最小值为-1

（Ⅱ）解：由（1）可知

又因为
，所以

由
，得

从而

所以

17. (1)由Sn=2n2+n,可得

当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,

当n=1时，a1=3符合上式，所以an=4n-1(n∈N*).

由an=4log2bn+3，可得4n-1=4log2bn+3,

解得bn=2n-1(n∈N*).

(2)anbn=(4n-1)·2n-1,

∴Tn=3+7×21+11×22+15×23+…+(4n-1)×2n-1， ①

2Tn=3×21+7×22+11×23+15×24+…+(4n-1)×2n， ②

①-②可得

-Tn=3+4[21+22+23+24+…+2n-1]-(4n-1)×2n

=3+4×
-(4n-1)×2n

=-5+(5-4n)×2n,

∴Tn=5+(4n-5)×2n.

18. (1)由题意，f(x)的最大值为

所以

而m>0，于是m=
，f(x)=2sin(x+
).

由正弦函数的单调性及周期性可得x满足

即

所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为

(2)设△ABC的外接圆半径为R，

由题意，得

化简
得

sin A+sin B=2
sin Asin B.由正弦定理，

得
①

由余弦定理，得a2+b2-ab=9，

即(a+b)2-3ab-9=0. ②

将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，

解得ab=3或
(舍去)，

故

19. (1)因为(an+1)2=4Sn,所以Sn=
,Sn+1=
.

所以Sn+1-Sn=an+1=

即4an+1=an+12-an2+2an+1-2an,

∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).

因为an+1+an≠0,所以an+1-an=2,即{an}为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1,解得a1=1,所以an=2n-1.

(2)由(1)知bn=
=
,

∴Tn=b1+b2+…+bn

=

∵Tn+1-Tn=

∴Tn+1>Tn.∴数列{Tn}为递增数列，

∴Tn的最小值为T1=
.

20. 由题意知
海里，

在
中，由正弦定理得

=
（海里），

又
海里，

在
中，由余弦定理得

21. （1）
；

（2）①设每一行组成的等比数列的公比为,由于前n行共有
个数,且
,所以
,得

因此

两式相减得

得