河北省唐山市海港高级中学2014-2015学年高一第一学期期中考试

数学试题 (2014年11月12日)

考试范围 必修一,包括集合、基本初等函数、函数与方程

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M=
，集合
为自然对数的底数），则
= （ ）

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域为（ ）

A.
B.

C.
D.

3．下列函数中表示相同函数的是( )

A．
与
B．
与

C．
与
D．
与

4．同时满足以下三个条件的函数是（ ）

①图像过点
； ②在区间
上单调递减； ③是偶函数 ．

A．
　 B．
　 C．
　　D．

5．已知函数
，那么
的值为（ ）

A、1 B、2 C、
D、

6. 函数
零点所在的区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．设
，
，
，若
，那么当
时必有（ ）

A．
B．

C．
D．

8．函数
在
上存在一个零点，则的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．
或

9．定义运算
，则函数
的图象是( )

10．设
是奇函数，且在
内是增函数，又
，则
的解集是（ ）

A.
B.

C.
D.

11．在
、
、
这三个函数中，当
时，使

恒成立的函数个数是：（ ）

A．
0 B．1 C． 2 D． 3

12．设奇函数
在
上是增函数，且
，若对所有的
及任意的
都满足
，则的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在II卷横线上。

13．已知集合
，
，
，则实数的取值范围是________．

14．已知
，那么的取值范围是 .

15．函数
的单调减区间为 .

16．已知函数
，若关于的方程
有两个不同的根，则实数
的取值范围是_________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

计算：（1）

（2）

18．（本小题满分12分）

已知全集
，
，
,

（1）求
，
，

（2）若
,且
,求实数的取值范围

19、（本小题满分12分）

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中是仪器的月产量.

（1）将利润元表示为月产量台的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）.

20、（本小题满分12分）

已知函数
（
R）．

（1）试判断
的单调性，并证明你的结论；

（2）若
为定义域上的奇函数

① 求函数
的值域； ② 求满足
的的取值范围．

21．（本题满分12分）

已知函数

（1）若
的定义域是，求实数的取值范围及
的值域；

（2）若
的值域是，求实数的取值范围及
的定义域。

22．（本题满分12分）

设函数
.

( 1 )当
，画出函数
的图像，并求出函数
的零点；

( 2 )设
，且对任意
恒成立，求实数a的取值范围.

高一期中考试数学试卷答案

一、选择题

1----5 DBCBA 6----10 CADAC 11、12 BD

二、填空题

13、
14、
或
15、
16、

三、解答题

17. 解： （Ⅰ） =
=
=

=
…………………………………………………5分

（Ⅱ）=
=
………10分

19、解：（Ⅰ）由题设，总成本为
， --------------------------------2分

则
-------------------------------------6分

（Ⅱ）当
时，
，-------------------8分

当
时，
；

当
时，
是减函数，---------------------------------10分

则
．

所以，当
时，有最大利润
元． ---------------------------------12分

20．解：（1）函数
为定义域(－∞，+∞)，且
，

任取
(－∞，+∞)，且

则

∵
在上单调递增，且

∴
，
，
，
，∴
，

即
，∴
在(－∞，+∞)上的单调增函数． --------------------------------5分

（2）∵
是定义域上的奇函数，∴
，

即
对任意实数恒成立，

化简得
，∴
，即
，------------------------------7分

由
得
，∵
，∴
，

∴
，∴

故函数
的值域为
． ------------------------------10分

②由
得
，且
在(－∞，+∞)上单调递增，∴
，

解得
， 故的取值范围为
． ----------------------------12分

21. 解：（1）因为
定义域为R，所以
对一切
成立，

由此得
解得
---------------------------------------------3分

又因为

所以

，

所以实数的取值范围是

的值域是
---------------------------------------------------------6分

（2）因为
的值域是R，所以
的值域

当
时，
的值域为R
；

当
时，
的值域
等价于

解得

所以实数的取值范围是
------------------------------------------9分

当
由
得
，
定义域为
；------------------10分

当
时，由
解得

或

所以
得定义域是
---------------------12分

22、解析：（1）当a=2，b=3时

函数f（x）=（x-2）|x|+3的解析式可化为：
，------2分

故函数的图象如下图所示：
------------------------------4分

当x≥0时，由f（x）=0，得x2-2x+3=0，此时无实根；

当x＜0时，由f（x）=0，得x2-2x-3=0，得x=-1，x=3（舍）．

所以函数的零点为x=-1．--------------------------------------------6分

（2）当b=-2时，由f（x）＜0得，（x-a）|x|＜2．

当x=0时，a取任意实数，不等式恒成立；-----------------7分

当0＜x≤1时，
,令
，则g（x）在0＜x≤1上单调递增，

∴a＞gmax（x）=g（1）=-1； ------------------------------------9分

当x＜0时，
，令
，则h（x）在
上单调递减，
单调递增；∴a＞hmax(x)
，综合?a＞-1．-----------------------------12分