一、填空题（每小题5分，共70分）

1. 设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3，5}，则A∩B＝ ▲ .

2. 设U＝{x|x ≤ 1} ，A＝{x|x＜0} ，则?U A＝ ▲ .

3. 函数f(x)＝ log2 的定义域是 ▲ .

4. (lg5)2＋lg2×lg50＝ ▲ .

5. 已知函数f(x)＝(α－2)xα是幂函数，则函数f(x)的奇偶性是 ▲ .

6. 方程3x＝x＋2解的个数是 ▲ .

7. 已知函数f(x)的定义域为R，下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）.

①. 若f(3)＞f(2)，则f(x)在定义域R上是单调增函数；

②. 若f(3)＞f(2)，则f(x)在定义域R上不是单调减函数；

③. 若 f(x)在定义域R上是单调增函数，则必有f(3)＞f(2)；

④. 若f(3)＜f(2)，则f(x)在定义域R上不是单调增函数.

8. 设a＝log75，b＝log67，则a 、b的大小关系是 ▲ .

9. 已知函数f(x)＝x3－bx＋1，a、b∈R，若f(－2)＝－1，则f(2)＝ ▲ .

10. 已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x＜0时，f(x)＝ ▲ .

11. 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(—∞，0)上是增函数，则下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）.

①. f(－1)＜f(－2)， ②. f(1)＜f(2)， ③. f(－1)＜f(2)， ④. f(－1)＞f(2)

12. 若 a＋ ＝3，则a2－ ＝ ▲ .

13. 已知函数f(x)＝a＋ 是奇函数，则常数a＝ ▲ .

14. 若
与
在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是 ▲ .

二、解答题（共计90分）

15. （本题满分14分） 记函数f(x)＝ ＋ 的定义域为集合M，

函数g(x)＝x2－2x＋3的值域为集合N，求M∩N和M∪N.

（答案写在答卷纸上相应的位置）

16. （本题满分14分）

（1）说明由函数y＝log3(x－1)作怎样的变换可以得到函数y＝log3(x＋2)的图象；

（2）画出函数 y＝log3 |x| 的图象，根据图象指出其奇偶性与单调区间（不需证明）.

（答案写在答卷纸上相应的位置）

17. （本题满分14分）复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法。某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息。

（1）写出x年后，需要还款总数y（单位：万元）和x(单位：年)之间的函数关系式；

（2）计算5年后的还款总额(精确到元)

（3）如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，

求每次还款的金额x. (精确到元)

(参考数据：1.073＝1.2250，1.074＝1.3108，1.075＝1.402551，1.076＝1.500730)

（答案写在答卷纸上相应的位置）

18. （本题满分16分）已知函数f(x)＝

（1）画出函数f(x)的图象；

（2）若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．

（答案写在答卷纸上相应的位置）

19. （本题满分16分）已知函数f（x）的定义域为A，

①如果对于任意x1 、x2∈A， x1 ≠x2，都有f()＜[f(x1)＋f(x2)]，

则称函数f(x)是凹函数.

②如果对于任意x1 、x2∈A， x1 ≠x2，都有f()＞[f(x1)＋f (x2)]，

则称函数f(x)是凸函数.

(1) 判断函数y＝x2是凹函数还是凸函数，并加以证明；

(2) 判断函数f(x)＝log2x是凹函数还是凸函数，并加以证明.

（答案写在答卷纸上相应的位置）

20. （本题满分16分）已知函数f(x)＝ a∈R

(1)证明：f(x)＋2＋f(2a—x)＝0对定义域内所有x都成立.

(2)当f(x)的定义域为[a＋， a＋1]时，求证：f(x)的值域为[—3，—2]；

(3) 设函数g(x)＝x2 ＋|(x—a) f(x)| ，求g(x)的最小值.

（答案写在答卷纸上相应的位置）

参考答案：

一、填空题（每小题5分，共70分）

6. 方程3x＝x＋2解的个数是_____________.答案：2

7. 已知函数f(x)的定义域为R，下列命题中正确的是__________________（填命题序号）.

①. 若f(3)＞f(2)，则f(x)在定义域R上是单调增函数；

②. 若f(3)＞f(2)，则f(x)在定义域R上不是单调减函数；

③. 若 f(x)在定义域R上是单调增函数，则必有f(3)＞f(2)；

④. 若f(3)＜f(2)，则f(x)在定义域R上不是单调增函数. 答案：②③④

8. 设a＝log75，b＝log67，则a 、b的大小关系是_____________.答案：a＜b

9. 已知函数f(x)＝x3－bx＋1，a、b∈R，若f(－2)＝－1，则f(2)＝____________.答案：3

答案：（0，1]

二、解答题（共计90分）

15. （本题满分14分） 记函数f(x)＝ ＋ 的定义域为集合M，

函数g(x)＝x2－2x＋3的值域为集合N，求M∩N和M∪N.

解：由得M＝[1，3]， …… …… …… …… 4分

又g(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以N＝[2，＋∞) …… …… …… …… 8分

∴ M∩N＝[2，3] …… …… …… …… 11分

M∪N＝[1，＋∞) …… …… …… ……1 4分

14.0255，…… …… …… ……9分

答：5年后的还款总额为140255元（或14.0255万元）。…… …… …… ……9分

（3）由已知得x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝14.0255…… …… …… ……13分

解得x＝2. 4389…… …… …… ……14分

答：每次还款的金额为24389元（或2.4389万元）。…… …… …… ……15分

18. （本题满分16分）已知函数f(x)＝

（1）画出函数f(x)的图象；

（2）若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．

解：（1）图象略…… …… …… ……8分

（2）由图象可知－log4a＝log4b，即ab＝1，…… …… ……12分

所以abc＝c

由图象可知c∈（4,6）…… …… …… ……16分

证明如下：

(x1 、x2∈(0，＋∞)， x1 ≠x2，

f()＝log2()，[f (x1)＋f(x2)]＝log2 x1＋log2 x2＝ log2 x1 x2

∵ f()－[f(x1)＋f(x2)]

＝log2()－ log2 x1 x2＝log2()－log2 ＝log2()

而x1 ＋x2－2＝(－ )2＞0，所以＞1，log2()＞0，

所以f()＞[f(x1)＋f(x2)]，即函数f(x)＝log2x是凸函数. ………… ……16分

fmax(x)＝f（a＋1）＝—1＋ = —2，

即f（x）的值域为[—3，—2]；…… …… …… ……10分

(3) g（x）＝x2 ＋|(x—a) f（x）| ＝ x2＋|x—(a—1) |

＝…… …… …… ……12分

当a—1≤—  ，即a≤ 时，gmin(x)＝g（）＝a—，…… …… …… ……13分

当— 

gmin(x)＝min{g()，g(—)}＝…… …… …… ……14分

当a—1>  ，即a>  时，gmin(x)＝g(— )＝ — a，…… …… …… ……15分

综上所述，可得gmin(x)＝…… …… …… ……16分