江苏省宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年高一上学期

第三次学情调研 数学

第I卷 填空题（共70分)

一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）

1．若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是___________．

2．在函数y = 2sin(4x+
)图象的对称中心中，离原点最近的点的坐标是___________．

3．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是________．

4．函数

为上的单调增函数，则实数的取值范围为　 ．

5．函数f(x)=
的定义域是________________________．

6．将函数y=sin2x的图象向左平移
个单位, 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是___________．

7．已知函数f(x)=2sin(2x+α) (|α|≤
) 的图象关于直线x=
对称，则α= ．

8．函数
的单调递增区间是____________．

9．设f(x)是R上的奇函数，当
时，f(x)=
（为常数），则当
时f(x)= _______．

10．已知函数
在
内是减函数，则的取值范围是__________．

11．设函数
，
，若实数
满足
，
请将0，
按从小到大的顺序排列　 　（用“＜”连接）．

12．函数
与
（
）的图象所有交点横坐标之和是 ．

13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=
,若对任意的
不等式f(x+t) 2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　．

14．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题： (1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；(2)y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos； (3)y＝f(x)图象关于对称； (4)y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为___________________

第II卷 解答题（共70分)

二、解答题（本大题共6个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题14分）已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，(1)求a的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象．（3）写出该函数的对称中心的坐标.

16．（本题15分）下图为函数
图像的一部分．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)的振幅、周期、初相；

(2)求使得f(x)>
的x的集合 ；

(3)函数f(x)的图像可由函数y=sinx的图像经过怎样的变换而得到？

17．（本题14分）已知函数
的最大值为
，最小值为
.

（1）求
的值；（2）求函数
的最小值并求出对应x的集合．

18．（本题15分）已知函数
．(1)当
时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；(2) 求的取值范围，使得f(x)在区间
上是单调函数．

19．（本题16分）设函数
（＞0且
，
），f（x）是定义域为R的奇函数．

（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；

（2）已知f（1）=
，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），
，求g（x）的值域；

（3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于
时恒成立．请求出最大的整数λ．

20（本题16分）函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0，||<)的一段图象(如图所示)

求其解析式．(2)令g(x)=
，当
时，求g(x)的最大值．

高一数学参考答案

1.

2.

3.

4. (1,3)

5.

6.

7.

8.
,(
)

9.

10.

11．g（a）＜0＜f（b）

12. 4

13.

14. (2)(3)

15. 已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，(1)求a的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象。（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标.

解：（1）当
，则

∴当
，f（x）有最大值为
.

又∵f（x）的最大值为2，∴
=2， 解得：a=2．

（2）由（1）知

令
分别取0，
，π，
，2π，则对应的x与y的值如下表

　x

﹣

　

　

　

　



　

　0

　

　π

　

　2π



　y

　1

　3

﹣1

　1

　3



画出函数在区间[﹣
，
]的图象如下图

（3）

令
Z，解得x=
k∈Z，

∴函数
的对称中心的横坐标为
，k∈Z，

又∵函数
的图象是函数
的图象向上平移一个单位长度得到的，∴函数
的对称中心的纵坐标为1．

∴对称中心坐标为（
，1）k∈Z

16.如图为函数y=Asin（ωx+
）+c（A＞0，ω＞0，0<<2）图象的一部分．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)的振幅、周期、初相；

(2)求使得f(x)>
的x的集合 ；

(3)函数f(x)的图像可由函数y=sinx的图像经过怎样的变换而得到？

解：（1）由函数图象可知函数的最大值为A+c=4，最小值为﹣A+c=﹣2，∴c=1，A=3，

∵
，∴函数的周期T=
．由
=
得， =
，

∴y=3sin（
x+）+1

∵（12，4）在函数图象上∴4=3sin（
?12+
）+1，即sin（
+
）=1

∴
+
=
+2kπ，k∈Z，得
=﹣
+2kπ，k∈Z

∵0<<2 ∴=

∴函数解析式为y=3sin（
?x+
）+1．

（2）
,(
)

（3）略

17. 已知函数
的最大值为
，最小值为
.

（1）求
的值；（2）求函数
的最小值并求出对应x的集合。

解：（1）
∵b＞0

∴﹣b＜0，
；∴
（7分）

（2）由（1）知：

∴
∴g（x）∈[﹣2，2]∴g（x）的最小值为﹣2

对应x的集合为
（14分）

18. 已知函数
．(1)当
时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；(2) 求的取值范围，使得f(x)在区间
上是单调函数。解：(1) 当
时，
=
∵
∴当x=
时，f(x)取到最小值
当x=
时，f(x)取到最大值
(2)函数
图象的对称轴为直线x=
当
≤
，即
≥
，即
时，函数f(x)在区间
上是增函数；当

<
，即
，即0≤<
或
<<
或
≤
时，f(x)在区间
上为减函数，在
上为增函数； 当
≥
，即
≤
，即
≤≤
时，函数f(x)在区间
上是减函数。综上所述：当
或
≤≤
时，函数f(x)在区间
上是单调函数。

19. （本题16分）设函数
（＞0且
，
），f（x）是定义域为R的奇函数．

（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；

（2）已知f（1）=
，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），
，求g（x）的值域；

（3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于
时恒成立．请求出最大的整数λ．

解：（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，

∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x，

∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，

设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+
），

∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数；

（Ⅱ）∵f（1）=
，∴a﹣
=
，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣
（舍去），

则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），
，令t=2x﹣2﹣x，
，

由（1）可知该函数在区间
上为增函数，则
﹣
，

，

则y=h（t）=t2﹣2t+2，
﹣
，

，

当t=﹣
时，ymax=
；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，

，

（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在
时恒成立

令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则

，

则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），
恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t
恒成立，

λ≤t2+3，t
恒成立，当t=
时，（t2+3）min=
，∴λ≤
，则λ的最大整数为10．

20. 函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0，||<)的一段图象(如图所示)

(1)求其解析式。(2)令g(x)=
，当
时，求g(x)的最大值。

解：(1)设函数f(x)的周期为T，则由图知
T=
，∴T=∴
∴f(x)＝Asin(2x＋)将点(
)代入得sin(2×
＋)=0，∴
=2k k∈Z∴=
k∈Z∵||<∴=
∴f(x)＝Asin(2x＋
)将点(0,
)代入得
=Asin
，∴A=2∴f(x)＝2sin(2x＋
)(2) g(x)=
设m=f(x)－1=2sin(2x＋
)－1，则y=m+
当
时，2x+
∈[
,
]，sin2x+
∈[
,1]，m∈[
,1]y=m+
在[
,1]为减函数当m=
，即2sin(2x＋
)－1=
，即x=0或x=
时，g(x)取得最大值2
。