一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分）

1.设集合
，则
= ▲ .

2.已知
，则
U= ▲ .

3.函数
的定义域为 ▲ .

4.若
▲ .

5.已知函数
，则
▲ .

16

6.已知幂函数
的图象过点
，则
▲ .

7.若函数
的图象经过点
，则函数
的图象必定经过的点的坐

标是 ▲

(2,4)

8.已知
，则f(0) = ▲ .

27

9.方程
的解的个数是 ▲ ．

1

10.已知
，
，则
从小到大排列依次为 ▲ .

11.如果函数
在区间
上是减函数，则实数的取值范围

是 ▲ .

12.设已知函数
，正实数m，n满足
，且
，则
的最小值为 ▲ .

13.已知函数
对于任意的
，都满足
且对任意的
当
时，都有
若
，则实数的取值范围为 ▲ .

14. 设函数
，若
在区间
上的单调递增，则实数
的取值范围

为 ▲ .

二、解答题：(本大题共6小题共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).

15. （本题满分14分）

（1）计算
；

解：-2

（2）已知
，求
的值.

解：14

16.（本题满分14分）

已知集合若全集

（1）求

（2）求

（3）若
且
求的取值范围.

解（1）
..........................5分

（2）由
..........................8分

得
..........11分

（3）由
知
........................14分

17. （本题满分14分）

心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定．分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为（单位：分），学生的接受能力为
（
值越大，表示接受能力越强），

（1）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；

（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？

（3）若一个数学难题，需要50的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？

解：

(1）由题意可知:
………………………………1分

所以开讲后5分钟、20分钟、35分钟的学生的接受能力从大小依次是

开讲后5分钟、20分钟、35分钟的接受能力；………………………………………2分

(2)由题意可知：

当
时，

所以当=10时,
的最大值是60, …………………………………………3分

又
,
=60 …………………………………………4分

当
时，
.................................................................5分

所以当=15时取得最大值60， ............................................................6分

当
时，
............................................................7分

所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强,并能维持5分钟.................................8分

（3）由题意可知：

当
时，
，得
………9分

当

=60>50,满足要求； ……………………………………11分

当
,
，得
……………………12分

因此接受能力50及以上的时间是12分钟小于13分钟. . ……………13分

所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . ………………114分

18．（本小题满分16分）

已知函数
(其中
且
).

（1）判断函数
的奇偶性并证明；

（2）讨论
的单调性，并证明你的结论。

19. (本题满分16分)

已知函数
为定义在R上的奇函数.

（1）求实数的值.

（2）解不等式
；

（3）若关于的方程
在
上有实数解，求实数
的取值范围.

解：（1）
..................................................4分

（2）
，即
，解得
...........................9分

（3）关于的方程
在
上有实数解，

即
在
上有实数解..........................11分

设
，

由
知
在
上为增函数..........13分

所以
的值域为
即

所以方程
在
上有实数解，实数k的取值范围是
......16分

20（本小题满分16分）

已知二次函数
满足
，且
。

(1)求
的解析式；

(2) 若关于的方程
有区间
上有唯一实数根，求实数的取值范围(注：相等的实数根算一个)。

(3) 函数
，试问是否存在实数，使得对任意
都有

成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.

20、解：(1)设
代入
得

对于
恒成立，故
…………2分

又由
得
，解得
，

所以
……4分

分

(2)解法1：由方程
得
，

令
，即要求函数
在
上有唯一的零点，…5分

①
，则
，代入原方程得
或
，不合题意； ………6分

②若
，则
，代入原方程得
或，满足题意，故
成立； …7分

③若
，则
，代入原方程得
，满足题意，故
成立； …8分

④若
且
且
时，由
得
. ........9分

综上，实数的取值范围是
。 ………10分

解法2：由方程
得
，即直线
与函数
，
的图像有且只有一个交点（参照给分）

（3）由题意知

假设存在实数t满足条件，对任意
都有
成立，

即
，故有
，

由
，
...........................11分

当
时，
在
上为增函数

，所以
......................12分

当
时，

,即

解得
，所以
......................13分