2014-2015学年第一学期寒假收心考试

数学试题（参考答案）

一、选择题：

ADBCA CACAB

二、填空题:

11.
12.
13. 3 14.
15. ①④⑤

三、解答题:

16.解：(1) 依题意
……………3分

∴
……………6分

(2)∵
∴

当
时
∴
； ……………8分

当
时
或

∴
或
……………11分

综上
或
. ……………12分

17．解：（1）证明：∵

∴由题意得

∴直线
恒过定点
. …………4分

（2）解：设所求直线
的方程为
，直线
与x轴、y轴交于、两点，

则
，
． …………8分

∵
的中点为
，

∴
解得
. …………10分

∴所求直线
的方程为
. …………12分

18．解：设小时后蓄水池中的水量为吨，则有：

………………2分

（Ⅰ）令
，则
，

当
，及
，
时，
吨

小时后蓄水池中的水量最少，最少为
吨 ………………6分

（Ⅱ）由题意
……………7分

由第（Ⅰ）问知：

，
， ……………9分

即
，
， ……………10分

，故有
小时供水紧张. …………12分

19.(1)证明：

???????
………………………………… 2分

又

?………………………………… 4分

（2）解：在原
中，
?

???? ?
又折叠后
，

?????????
为等腰
……………………………………6分

?????????
………………………8分

（3）取BC的中点E，
?

???????????
?平面ADE …………………9分

????????????? 过D点作
则
?平面ABC

????????? 在
……………………10分

??????????
，

??????????D点到平面ABC的距离为
。 …………………12分

20.解：（1）设圆C的标准方程为

由题意知：
……………4分

解得：
………………6分

得圆的方程为：

（2）设直线
与圆C交于
两点，

圆
被直线
分割成弧长的比值为
的两段弧，

，
………………8分

故圆心C到直线
的距离为
………………10分

又直线
的方程为
，

由点到直线距离公式得：
………………11分

解得：
或
………………12分

故所求直线方程为：
或
………………13分

21.解：（1）因为
在定义域为上是奇函数，所以
，

即

又由
，即
．．．．．．．4分

（2）由（1）知
，

任取
，设

则

因为函数y=2
在R上是增函数且
∴
>0

又
>0 ∴
>0即

∴
在
上为减函数. ．．．．．．．8分

（3）因
是奇函数，从而不等式：

等价于
， …………10分

因
为减函数，由上式推得：
．

即对一切
有：
恒成立， ．．．．．．．12分

设
，令
,

则有
，

，即k的取值范围为
。 ．．．．．．．14分