高一年级第一学期期末考试

数学答案

一、选择题： DACAC BDDAC

二、填空题： 11. 80 12.
13.
14.
15. ② ④

三、解答题：

16.解：（1）∵
，∴直线
………………………………… 3分

∵
，∴
，即
.…………………………………… 6分

（2）∵
，∴直线
的斜率为
.

又∵
，∴
，解得
， …………………… 9分

∴直线
，直线
.

直线
与
之间的距离
.…………………………………12分

17.证明：(1) 因为四边形
是矩形,

所以
//
,
平面
,

所以
//平面
, ………………………………… 3分

平面
,

平面
平面
,
//
. ……………………… 6分

(2) 因为
平面
,
平面
;

所以
,

因为
,
,
平面
, …………… 9分

所以
平面
,
平面
内，

所以平面
平面
. …………………………………… 12分

18．解:(1)当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，当然相等．

∴
，方程即为
. …………………………………… 3分

当直线不过原点时，由截距存在且均不为
，

得
，即
，∴
，方程即为
.

综上，
的方程为
或
. …………………………………… 6分

(2)将
的方程化为
，

∴
或

∴
.

综上可知的取值范围是
. …………………………………… 12分

19.解：⑴由题意知，当
时，

当
时，设

由已知可得
，解得
.

所以函数
. …………………………………… 6分

⑵由⑴可知

当
时，
为增函数，

∴当
时，其最大值为1800. …………………………………… 9分

当
时，
，

当
时，其最大值为3675. …………………………………… 11分

综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆. ……… 12分

20．解：（1）取
的中点，连结
，

因为
是等边三角形，所以
．…………………………………… 3分

当平面
平面
时，因为平面
平面

，

所以
平面
，可知

由已知可得
，

在
中，
．…………………………………… 7分

(2）当
以
为轴转动时，总有
．

证明如下：

①当在平面
内时，因为
，

所以
都在线段
的垂直平分线上，即
……………………… 9分

②当不在平面
内时，由（1）知
．

又因
，所以
．

又
为相交直线，

所以
平面
，由
平面
，得
．

综上所述，总有
． …………………………………… 13分

21. 解：(1) 连结
,交
于点,则为
中点，

又是
中点，连结
,则
,

因为
平面
,
平面
,

所以
平面
. …………………………………… 3分

（2）直三棱柱
中，

因为
，所以
………………………………… 4分

因为
,
,

所以
平面
,所以
…………………………… 6分

,所以
平面

所以
…………………………………… 8分

(3) 在直三棱柱
中，
,

已知
为
的中点,所以
,

平面
.

∴
,

∴
为二面角
的平面角.

在
中，
.

由

，

∴
，
.

∴
,得
.∴点为
的中点. …………………………11分

又∵
,
,
,
,

故
,故有

所以
………………14分