第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合
，
，则满足条件的实数的个数有C

A．个 B．个 C．
个 D．个

2. 已知是第二象限角，且
，则
的值为D

A．
B．
C．
D．

3.设
, 则 “
”是“
”的 （　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A 若
，则
，即
。若
时
，所以
是
的充分而不必要条件，选A.

4. 设
为等差数列
的前项和,
,则
= （　　）

A．
B．
C．
D．2

【答案】A

5.为了得到函数
的图象,只需将函数
的图象 C

A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位

6.若
为平面内任一点且
，则
是 C

A．直角三角形或等腰三角形　　　　 B．等腰直角三角形

C．等腰三角形但不一定是直角三角形　D．直角三角形但不一定是等腰三角形

7.已知函数
，则
的解集为B

A．
B．

C．
D．

8. 有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为

（　　）

A．13 B．7+3
C．
D．14

【答案】D由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为
,选 D．

10.在球心同侧有相距
的两个平行截面，它们的面积分别为
和
,则球的表面积为

A．
B．
C．
D．

11.已知
是正数，且满足
．那么
的取值范围是B

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
满足
，且
，
分别是上的偶函数和奇函数，若
使得不等式
恒成立，则实数的取值范围是B

A．
B．
C．
D．
试卷II（90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．

13.已知抛物线
的准线过双曲线
的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .

14. 直线
与圆
的公共点的个数为 2 .

15.如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后,输出的
,那么的值为
.

16．有下面四个判断：①命题：“设、
，若
，则
”是一个假命题

②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题

③命题“
、
”的否定是：“
、
”

④若函数
的图象关于原点对称，则

其中错误的有 ① ② ③ ④ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若
，求
的值.

解：（Ⅰ）由题意，
，

所以，
.

函数
的定义域为
. ………………………4分

（Ⅱ）因为
，所以
，

，

， ………………………8分

将上式平方，得
，

所以
. ………………………10分

（Ⅰ）证明：因为点
是菱形
的对角线的交点，

所以
是
的中点.又点
是棱
的中点，

所以
是
的中位线，
.

因为
平面
,
平面
，

所以
平面
. ………………………4分

（Ⅱ）证明：由题意，
,

因为
,所以
，
.

又因为菱形
，所以
.

因为
,

所以
平面
，

因为
平面
，

所以平面
平面
. ……………………8分

（Ⅲ）解：三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积.

由（Ⅱ）知，
平面
，

所以
为三棱锥
的高.

的面积为
，

所求体积等于
. ………………………12分

19. 如图，设是圆
上的动点，点是在轴上的投影，
为
上一点，且
．

(1)当在圆上运动时，求点
的轨迹
的方程；

(2)求过点
且斜率为
的直线被
所截线段的长度．

解：(1)设
的坐标为
(x，y)，的坐标为
，

由已知得
，∵在圆上，

∴
，即轨迹C的方程为
………………………5分

(2) 过点
且斜率为
的直线方程为
，

设直线与
的交点为
，
，

将直线方程
代入
的方程，得

，即x2－3x－8＝0. ………………………8分

∴x1＝，x2＝.

∴线段
的长度为

………………12分

20. 设数列
满足：
，

(I)求证：
是等比数列；

(Ⅱ)设数列
，求{bn}的前
项和
．

解：（I）由
得

令
，

得
则
，

从而
.

又
,

……………………………………10分

………………………………12分

21. 设函数

且
是定义域为的奇函数.

(1)求值;

(2)若
,且
,在
上的最小值为
,求的值.

解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,

∴1-(k-1)=0,∴k=2, ………………………4分

(2)∵f(1)=,
,即

………………………6分

∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. ……………………8分

令t=f(x)=2x-2-x,

由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=,

令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥)

若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2

若m<,当t=时,h(t)min=-3m=-2,解得m=>,舍去………………………11分

综上可知m=2. ………………………12分

22. 已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为
，椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，且
，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：

由题意：

所求椭圆方程为：
． ……………………4分

（Ⅱ）若过点
的斜率不存在，则
．

若过点
的直线斜率为
，即：
时，

直线
的方程为

由