本试题卷共4页，三大题21小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．抛物线
的准线方程是（　 　）

　 A． y=﹣1 B． y=﹣2 C． x=﹣1 D． x=﹣2

2. 已知向量
，
，且
与
互相垂直，则k的值是（ ）

A．1 B．
C．
D．

3．命题甲：
或
；命题乙：
，则甲是乙的 ( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

4．将八进制数135(8)转化为二进制数是 ( )

A．1110101(2) B．1010101(2) C．111001(2) D．1011101(2)

5. 如果方程
表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 （ 　）

A．
B．
C．
D．

6. 以下三个命题中：

①设有一个回归方程
，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．

其中真命题的个数为（　 　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3



7. 用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是 ( )

A．36 B．32 C．24 D．20

8. 设
，
，随机变量
取值
的概率均为
，随机变量
取值
的概率也均为
，若记
分别为
的方差，则（ ）

A．
B．

C．
D．
与
的大小关系与
的取值有关

9. 设
为整数
，若和被除得的余数相同，则称和对同余记为
，已知
…
,
，则
的值可以是 （ ）

A．2015 B．2013 C．2011 D．2009

10．如图，F1，F2是双曲线C：
(a＞0，b＞0)的左、右焦点， 过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )

A．
B．2 C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11. 某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是 ．

随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06

12．下图是一个算法的流程图，则输出S的值是__________

13. 已知
的展开式中
的系数是－35，

则
.

14. 如图，在直三棱柱
中，
，
，

则直线
和
所成的角是 ．

15. 已知双曲线
，
为坐标原点，离心率
， 点
在双曲线上．

(1)则双曲线的方程为 ；

(2)若直线
与双曲线交于
两点，且
.则
的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知命题
函数
在定义域上单调递增；

命题
不等式
对任意实数恒成立．

若
是真命题，求实数的取值范围.

17.（本小题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段





后得到如下图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?

（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

（Ⅲ）若从车速在
的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在
的车辆数
的分布列及数学期望.

18 . （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点，
．

（Ⅰ）若平面
平面
，点
是
的中点，求二面角
的余弦值；

（Ⅱ）点
在线段
上，
，试确定的值，使
平面
.

19.（本小题满分12分）已知函数
．

（1）从区间
内任取一个实数，设事件={函数
在区间
上有两个不同的零点}，求事件发生的概率；

（2）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为
）得到的点数分别为和
，记事件
{
在
恒成立}，求事件发生的概率．

20. (本小题满分13分）等差数列{
}的各项均为正有理数，
＝3，前项和为
，等比数列{
}中，
＝1，
＝64，{
}是公比为64的等比数列．

(Ⅰ)求
与
； (Ⅱ)证明：＋＋＋…＋<.

21．（本小题满分14分）如图，设是椭圆

的左焦点，直线
为
，直线
与轴交于点，线段MN为椭圆的长轴，已知
且

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN；

（3）求三角形ABF面积的最大值。



6. 以下三个命题中：

①设有一个回归方程
，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．

其中真命题的个数为（　 C　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3



7. 用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是 ( D )

A．36 B．32 C．24 D．20

【解析】排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有
，然后减去
在首位的情

况，有
，故
．

8. 设
，
，随机变量
取值
的概率均为
，随机变量
取值
的概率也均为
，若记
分别为
的方差，则（ A ）

A．
B．

C．
D．
与
的大小关系与
的取值有关

【解析】由题意可知
，又由题意可知，
的波动性较大，从而有
.

注意：本题也可利用特殊值法。

9. 设
为整数
，若和被除得的余数相同，则称和对同余记为
，已知
…
,
，则
的值可以是 （ C ）

A．2015 B．2013 C．2011 D．2009

10．如图，F1，F2是双曲线C：
(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ C ）

A．
B．2 C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11. 某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是 068 ．

随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06

12．下图是一个算法的流程图，则输出S的值是_____63________

13. 已知
的展开式中
的系数是－35，

则
= 1 .

14.如图，在直三棱柱
中，
，
，则直线
和
所成的角是
．

15. 已知双曲线
，
为坐标原点，离心率
， 点
在双曲线上．

(1)则双曲线的方程为 ；

(2) 若直线
与双曲线交于
两点，且
.则
的值为 ．

解析：(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，

双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.

∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.

∴所求双曲线的方程为－＝1.

(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得

∴|OP|2＝x2＋y2＝.

则OQ的方程为y＝－x， 同理有|OQ|2＝＝，

∴＋＝＝＝.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知命题
函数
在定义域上单调递增；

命题
不等式
对任意实数恒成立．

若
是真命题，求实数的取值范围.

【解析】

命题P函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；∴0

又∵命题Q不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立；

∴a＝2或
即－2

∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2

17. （本小题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段





后得到如下图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?

（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

（Ⅲ）若从车速在
的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在
的车辆数
的分布列及数学期望.

【解析】（I）系统抽样 ……………………2分

（II）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于
，

设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估计值为

,解得

即中位数的估计值为
……………………6分

均值
. ……………………12分

18 . （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点，
．

（Ⅰ）若平面
平面ABCD，点
是
的中点，求二面角
的余弦值．

（Ⅱ）点
在线段
上，
，试确定的值，使
平面
。

18解：（1）
（6分）

（2）当
时，
平面

证明：连
交
于
，连
．

由
可得，
，
，所以
．

若
，即
，

由
平面
，故
平面
． 6分