湖南省岳阳县一中2014-2015年度上学期高二期末考试理科数学

时量:120分钟 总分:150分

命题:易正红 审题:彭小霞

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.

1.复数
的值是( )

A.
B.
C.
D.

2.从2014名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从

2014人中剔除14人,剩下2000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率( )

A. 不全相等 B. 均不相等

C. 都相等且为
D. 都相等且为

3.已知和是两个命题,若
是
的必要不充分条件,则是的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

加工零件数 (个)

10

20

30

40

50



加工时间 (分钟)

64

69

75

82

90



4.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零

件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是( )

A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)

C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)

5.如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1

的交点.若
,则下列向量中与
相等的

向量是( )

A. －＋＋ B. ＋＋

C．－－＋ D. －＋

6.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值

n0应取( )

A．2 B．3 C．5 D．6

7.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为( )

A.
B. 1 C.
D.

8.已知点A(2,0),抛物线C:x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交

于点N,则|FM|∶|MN|等于 ( )

A. 2∶ B. 1∶2 C. 1∶ D. 1∶3

9.由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )

A. 72 B. 60 C. 48 D. 52

10.已知函数
的图象分别与直线
交于
两点,则
的最

小值为( )

A. 2 B.
C.
D.

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上.

11.现有5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名

方法共有________种.

12.在长为5
的线段
上任取一点,以
为邻

边作一矩形,则矩形面积大于
的概率为 .

13.如图所示,二面角α-l-β为60°, A,B是棱l上的点, AC,BD

分别在半平面α,β内, AC⊥l,BD⊥l, 且AB=AC=a,BD=2a,

则CD的长为 .

14.已知线段
为双曲线
的实轴,点在双曲线上,且
,若

,则双曲线的离心率是 .

15.数列
的前项组成集合
(
),从集合
中任取个数
,其所有可能的个数的乘积的和为
(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记
.例如:当
时,
.当
时,

.则:

(1)
;

(2)
的通项公式是 .

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知命题
使得
,命题方程
表示双曲线.

(Ⅰ)写出命题的否定形式;

(Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.

17.(本小题满分12分)

锻炼时间

(分钟)

[0,20)

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100)

[100,120)



人数

40

60

80

100

80

40



 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对400名高一学生的一周课外体育锻炼时间进行调查,结果如上表所示:现采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本.

(Ⅰ)其中课外体育锻炼时间在
分钟内的学生应抽取多少人?

(Ⅱ)若从(Ⅰ)中被抽取的学生中随机抽取2名,求这2名学生课外体育锻炼时间均在

分钟内的概率.

18.(本小题满分12分)

如图所示,四棱锥
的底面
为等腰梯形,

,对角线
与
交于点,

底面
.

(Ⅰ)求证:
;

(Ⅱ)若四棱锥
的体积
,

求二面角
的平面角的正弦值.

19.(本小题满分13分)

现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值万元与投入万元之间满足
且
,其中为大于的常数.当
时,
.

(Ⅰ)求
的解析式和投入的取值范围;

(Ⅱ)求旅游增加值取得最大值时对应的值．

20.(本小题满分13分)

如图所示,已知椭圆

有相同的离心率,

为椭圆
的左焦点,过点的直

线与
依次交于
四点.

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ)求证:无论直线的倾斜角如何变化恒有
;

(Ⅲ)若
,求直线的斜率.

21.(本小题满分13分)

已知函数
,
为
的导函数.

(Ⅰ)求证:曲线
在点
处的切线不过点
;

(Ⅱ)若在区间
在存在
,使得
,求的取值范围;

(Ⅲ)若
,试证明:对任意
恒成立.

参考答案

一、选择题D C A B A; C D C B B

二、填空题11. 32 . 12.
. 13. 2a .14.
. 15. (1)63; (2)
.

15.【解】(1)当
时,
,

,所以
;

(2) 法一 不完全归纳法

由(1)问及题设知,
,又易知
,故
;

;

;
;

所以
26+196+496+315=1023,…

观察发现,

显然其指数1,3,6,10,…,的通项为
,故猜测
.

法二 归纳递推法

(其中
为
时可能的个数的乘积的和为
).

即
,即
.

三、解答题

16.【解】(Ⅰ)命题的否定形式:

,都有
.………………………………………………………6分

(Ⅱ)由为假,即
为真,所以
,即
;

又命题为真,则有
,即
或
;

所以假、真时,
,即求.………………………………………………………12分

17.【解】(Ⅰ)由分层抽样知锻炼时间在[80,120)分钟内的学生有
(人)

(Ⅱ)记A事件为2名学生锻炼时间均在[80,100)分钟内,

由(Ⅰ)知从6人抽取2人有
种等可能结果,

而又锻炼时间为[80,100)分钟的学生有
×20=4人,

事件A包含基本事件有
个.

由古典概型可知
.

答:这2名学生锻炼时间在
分钟内概率为
.

18.【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形
中,知
,

又
,所以
,故
,

即
,又
底面
,得
,

且
,所以
面
,即
.………………………………………5分

(Ⅱ)由
,

于是
,得
.

法一 由
两两垂直,故以为原点,

分别以
为
轴建系如图;

则
,

,

设平面
的法向量为
,则由

得
,令
,得
,即

同理可得平面
的一个法向量为
,设二面角
的平面角为,

则
,

又
,故
.……………………………………………12分

法二 过点作
于点
,连接
,则

由
知
面
,

所以
(三垂线定理)

所以
为二面角
的平面角.

由等面积知
,

故
,
,

由余弦定理有
,

即
,即求.

19.【解】(Ⅰ)因当
时,
,即
,解得
.………2分

所以
,

又因为
且
,解得

即投入的取值范围是
………………………………………………………6分

(Ⅱ)对
求导,得
,

又因为
,所以从广义上讲有,

当
时,
,即
递增,当
时,
,即
递减．

所以当
时为极大值点,也是最大值点,于是

①当
,即
时,投入50万元改造时取得最大增加值; …………………10分

②当
时,即
时,投入
万元改造时取得最大增加值. ……13分

【注】第(Ⅱ)问若未分类讨论,算出的结果至多只能得3分,即不超过第(Ⅱ)问的一半分.

20.【解】(Ⅰ)由椭圆
的方程知
,依题对椭圆
而言,

有
,得
,故
,

即椭圆
的方程为
.…3分

(Ⅱ)1)当直线的斜率为0时,则
,显然有

2)设直线
,且

则由
得,
(
恒成立),

于是
;

同理由
得,
(
恒成立),

于是
;显然有
知线段
的中点重合,

且
四点共线,所以