第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1．已知集合
，那么

A．
B．
C．
D．

2．命题“任意
，
0”的否定是

A．不存在
,
>0 B．存在
,
>0

C．对任意的
,
0 D．对任意的
,
>0

3．抛物线
的焦点坐标为

A．
B．
C．
D．

4．已知等比数列
中，
，则
的值等于

A．4 B．8 C．
D．

5．过抛物线
焦点的直线交抛物线于
，
两点，若
，则

A．6 B．7 C．8 D．9

6．在
中，若
，则
的形状是

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

7．已知等差数列
的公差为3，若
成等比数列，则
等于

A．
B．
C．
D．

8．“
”是“
表示双曲线”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．实数
满足
，则
的最小值是

A．
B．
C．0 D．4

10．已知函数
的导函数
的图象右图所示，

那么函数
的图象最有可能的是下图中的

11．双曲线
的两个焦点为
,
，若为其图象上一点，且
，则该双曲线离心率的取值范围为

A．
B．
C．
D．

12. 定义方程
的实数根
为函数
的“和谐点”.如果函数
，
，
的“和谐点”分别为
，则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．）

13．在
中，角
的对边分别为
，若
，
的面积为2，则
.

14．若数列
的前项和为
，则该数列的通项公式
.

15．已知
在上单调递增，那么的取值范围是 .

16．已知
，
是平面上的两点，若曲线
上至少存在一点，使
，则称曲线
为“黄金曲线”．下列五条曲线：

①
； ②
； ③
；

④
； ⑤

其中为“黄金曲线”的是 .（写出所有“黄金曲线”的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

已知等差数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
取得最大值时的值．

18．（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，且
.

（Ⅰ）求角的大小;

（Ⅱ）若
，求的值．

19．（本小题满分12分）

已知函数
（为实数）在
处取得极值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最值．

20．（本小题满分12分）

第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行. 主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年. 已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为
（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：
. 若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元. 15年的总维修费用为10万元．记
为15年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用
最小，并求出最小值．

21．（本小题满分12分）

如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为
，
为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在过
的直线与椭圆交于，两个不同点，使以
为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数
，,
．

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线为
，求,的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
，不等式
在
恒成立，求的取值范围．

龙岩市一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查

数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.
14.
15.
16.④⑤

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，由正弦定理可知：

……………………………………2分

…………………………………………4分

…………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理可知：

,

，即
………………………………………9分

或

经检验：
或
均符合题意

或
……………………………………………12分

（注：第（Ⅱ）小题未检验不扣分；若用正弦定理作答，酌情给分）

19．（本小题满分12分）

解：
……………………………………2分

（Ⅰ）依题意可知：

，解得
……………………………………4分

经检验：
符合题意 ……………………………………5分

（Ⅱ）令
，得：
……………………………7分










































极大值

25




极小值







 ……………………………………11分

的最大值为
，最小值为
……………12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，当
时，

，

故
……………………………………3分

……………………………………6分

（Ⅱ）

……………………………………10分

当且仅当
，即当
时取得最小值

隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元. ………12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：
，

…………………………………1分

…………………………………2分

…………………………………3分

所以，椭圆的方程为：
…………………………………4分

（Ⅱ）法一：假设存在过
的直线
与椭圆交于、两个不同点，使以
为直径的圆过原点，依题意可知
.

①当直线
的斜率不存在时，、分别为椭圆短轴的端点，不符合题意 …5分

②当直线
的斜率存在时，设为
，则直线
的方程为：

由
得：
………………………6分

令
，得：

…………………………………7分

设
，则
………………8分

又
，

…………………………………9分

…………………………………10分

……………………………………………………11分

直线
的方程为：
，即
或

所以，存在过
的直线与椭圆交于、两个不同点，使以
为直径的圆过原点，其方程为：
或
…………………………12分

（Ⅱ）法二：假设存在过
的直线
与椭圆交于、两个不同点，使以
为直径的圆过原点，依题意可知
，设直线
的方程为：
………5分

由
得：
…………………6分

令
，得：

……………………………………7分

设
，则
……………8分

又

……9分

……………………………………10分

……………………………………11分

所求直线的方程为：
，即