第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.）

1．等差数列
的前项和为
，若
，则
的值是

A．25 B．26 C．27 D．28

2．
内角
的对边分别为
. 已知
，则=

A．
B．
C．
D．

3．若动点到定点
的距离与它到直线
的距离相等，则动点的轨迹方程是

A．
B．
C．
D．

4．
内角
的对边分别为
. 已知
，则
的形状是

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

5．若
，则下列不等式恒成立的是

A．
B．
C．
D．

6．若实数
满足约束条件
，则
的最大值是

A．
B． C．
D．

7．如图，在长方体
中，
，

若
分别为线段
,
的中点，则直线
与平面

所成角的正弦值为

A．
B．
C．
D．

8．已知命题：“
是
的充要条件”， 命题：“
”. 则下列结论正确的是

A．
为假 B．
为真 C．
为假 D．
均为真

9．已知是双曲线
的半焦距，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．已知
，
是自然对数的底数，若函数
与
的图象与直线
相切于同一点，则

A．
B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.）

11．曲线
在点
处的切线方程为 ．

12．关于的不等式
的解集为，则实数的

取值范围为 ．

13．如图，在正四棱柱
中，
,

点
为
的中点，则点
到平面
的距离为 ．

14．如图，在
中，
且
．若为

的中点，则
的最大值是 ．

15．下列四个结论正确的序号是 ．（填上所有正确的序号）

①函数
在区间
内无最大值；

②数列
的前项和
，对任意的正整数

总存在正整数，使得
；

③若方程
有且仅有两个不同的实数根
，则
．

三、解答题（共80分，解答写在答题卡的相应位置，应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

16．（本小题满分13分）

已知正项等比数列
中，

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）数列
满足
，求数列
的前项和
．

17．（本小题满分13分）

已知
的内角
的对边分别为
, 且
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
的面积为
，且
．求
的值．

18．（本小题满分13分）

如图，在
中，已知
，点为
的中点．若
是
绕直线
顺时针旋转而成的，记二面角
的大小为
．

（Ⅰ）当
时，求证：平面
平面
;

（Ⅱ）当
时，求锐二面角
的余弦值．

19．（本小题满分13分）

如图，某养殖户要建一个面积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙（旧墙的长度大于4米），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个4米的进出口.设矩形的宽为米，铁丝网的总长度为米.

（Ⅰ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小?

（Ⅱ）若由于地形限制，该养殖场的长与宽都不能超过32米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小？

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的离心率为
，且椭圆
经过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知直线
与椭圆
相交于
两点，以
为直径的圆恒过原点
，试问原点
到直线
的距离
是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的最小值；

（Ⅱ）对于区间
内的任意两个不相等的实数
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设
，试比较
与
的大小．

（其中

是自然对数的底数.）

龙岩市一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.
12.
 13.
14.
15. ②③

三、解答题（共80分）

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）设数列
的首项为
，公比为
.

则
································2分

解得：
··································5分

·································6分

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）

··························2分

即
···························4分

∵

························6分

（Ⅱ）

·········································8分

···························12分

···································13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题可知
,

········2分

当
时，有

平面
·········4分

平面
平面
平面
······················6分

（Ⅱ）如图，以点为坐标原点，在平面
内垂直于
的直线为轴，
所在的直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系C-xyz ·························7分

则

点为
的中点

设平面
的法向量为

则

取

····································10分

又平面BCD的法向量
································11分

设锐二面角
的大小为

································13分

19.（本小题满分13分）

（Ⅰ）依题可得

·············3分

当且仅当
即
时

当长为40米，宽为20米时，所用的铁丝网的总长度最小为76米. ······6分

（Ⅱ）依题意

···························8分

· ·······················9分

当
时

函数在
内单调递减

当
时

函数在
内单调递增 ·········11分

函数

在
单调递增

当
时

当长为32米，宽为25米时，所用铁丝网的总长度最小. ········13分

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）当
时，

令
得

·································1分

在
上递减，在
上递增 ·····················3分

·························4分

（Ⅱ）解：不妨设
，依条件得：

即：
恒成立

设
，上式恒成立，只须此函数在
上单调递增 ········5分

得

即
恒成立 ······································6分

令
得
，由
得

当
时，
，
在
上单调递增

当
时，
，
在
上单调递减

时，
··························8分

又

经检验：当
时也符合题意，

综上得
. ··································9分

（Ⅲ）由（2）得
，且
.

·····································10分

又
······12分

·········