第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的, 把答案填涂在答题卷的相应位置.）

1．等差数列
中，
，则

A．19 B．18 C． 17 D．9

2．
内角
的对边分别为
. 已知
，则=

A．
B．
C．
D．

3．已知
，下列选项正确的是

A．
B．
C．
D．

4．若动点到定点
的距离与它到直线
的距离相等，则动点的轨迹方程是

A．
B．
C．
D．

5．命题“若
，则
”的否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

6．
内角
的对边分别为
. 已知
，则
的形状是

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

7．若实数
满足约束条件
，则
的最大值是

A．
B． C．
D．

8．如图，在长方体
中，
,

若
分别为线段
,
的中点，则直线
与平面

所成角的正弦值为

A．
B．
C．
D．

9．已知实数
成等比数列，函数
，

当
时，取到极大值，则
等于

A．
B．

C．
D．

10．已知是双曲线
的半焦距，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卷的相应位置.）

11．曲线
在区间
处的最大值是 ．

12．“
”是“
”的 条件．（充分

不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）

13．若关于的不等式
的解集为，则实数的

取值范围为 ．

14．如图，在正四棱柱
中，
,

点
为
的中点，则点
到平面
的距离为 ．

15．如图，在
中，
且
. 若为
的中点，

则
的最大值是 ．

三、解答题（共80分，解答写在答题卷的相应位置，应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

16．（本小题满分13分）

已知正项等比数列
中，

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）数列
满足
，求数列
的前项和
．

17．（本小题满分13分）

已知
的内角
的对边分别为
，且
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
的面积为
，且
．求
的值．

18．（本小题满分13分）

如图, 在
中，已知
点为
的中点．若
是
绕直线
顺时针旋转而成的，记二面角
的大小为
．

（Ⅰ）当
时，求证：平面
平面
;

（Ⅱ）当
时，求锐二面角
的余弦值．

19．（本小题满分13分）

如图，某养殖户要建一个面积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙（旧墙的长度大于4米），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个4米的进出口.设矩形的宽为米，铁丝网的总长度为米.

（Ⅰ）写出与的函数关系式，并标出定义域；

（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少时，所用的铁丝网的总长度最小？

20．（本小题满分14分）

已知椭圆：
的离心率为
，且椭圆经过点
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆上的动点

，其中点在轴上的射影为点，点关于原点的对称点为点
，求
面积的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
为上的减函数，试求的取值范围；

（Ⅲ）证明：对任意
，
恒成立．

龙岩市非一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．4 12．充分不必要 13．
14．
15．

三、解答题（共80分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

16．（本小题满分13分）

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）

···································2分

即
···································4分

∵

·················6分

（Ⅱ）

······································8分

······································10分

························12分

∵

···························13分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题可知
,

， ····································2分

当
时，有

平面
, ·······························4分

平面
平面
平面
·······················6分

（Ⅱ）如图，以点为坐标原点，在平面
内垂直于
的直线为轴，
所在的直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系
·······················7分

则

又点为
的中点

设平面
的法向量为

则

取

··················10分

又平面
的法向量
···························11分

设二面角
的大小为

锐二面角
的余弦值为
. ························13分

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
·······································3分

····························5分

··················6分（Ⅱ）因为

··········10分

当且仅当
即
米时，
米 ·················12分

当长为40米，宽为20米时，所用的铁丝网的总长度最小． ············13分

20．（本小题满分14分）

解: （Ⅰ）解:依题得
且
,
，· ·······················4分

所以椭圆的标准方程为
． ·····························5分

（Ⅱ）依题得，
，
，
，· ······················6分

又因为
·················9分

又
··························12分

即
当且仅当
，
时等号成立

的面积最大值为1． ··································14分

（Ⅲ）证明：当
由
得
恒成立

令
，则
···················10分

当
时，

当
时，

·········12分

在
上单调递减，在
上单调递增

， 即
恒成立

综上所述，当
时，
恒成立． · ·····················14分