本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）

1．若方程
表示双曲线，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．
或

2．已知
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知
是圆
内一点，过
点最长的弦所在的直线方程是

A．
B．

C．
D．

4．以下三个命题：①分别在两个平面内的直线一定是异面直线；②过平面的一条斜线有且只有一个平面与垂直；③垂直于同一个平面的两个平面平行．其中真命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知二面角
为锐角，点
到平面
的距离
，到棱的距离
，则二面角
的大小为

A．
B．

C．
D．

6．已知平面
平面
，
，且直线与不平行．记平面
的距离为
，直线
的距离为
，则

A．
B．
C．
D．
与
大小不确定

7．一动圆的圆心在抛物线
上，且动圆恒与直线
相切，则此动圆必过定点

A．
B．
C．
D．

8．如图，在正四面体
中，
分别是
的中点，

则下列四个结论中不成立的是

A．
平面
B．
平面

C．平面
平面
D．平面
平面

9．已知球的半径为1，
三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为
，则球心到平面
的距离为

A．
B．
C．
D．

10．如图，在棱长为的正方体
面对角线
上存在一点，使得
取得最小值，则此最小值为

A．2 B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11．已知某球的体积与其表面积的数值相等，则此球体的体积为 ________．

12．如图，长方体
中，
，则长方体的对角线
长等于 ________．

13．如图，已知正三棱柱
的所有棱长均为，则异面直线
与
的距离是 _______．

14．过椭圆
的左焦点引直线交椭圆于
两点，若
，则此直线的方程为 _________．

15．如图，正方体
的棱长为1，点在侧面
及其边界上运动，并且总保持
平面
，则动点P的轨迹的长度是 _________．

第Ⅱ卷 答 题 卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























题号

11

12

13

14

15



答案













三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．（本题满分12分）已知方程
表示一个圆，求圆心的轨迹方程．

18．（本题满分12分）如图，空间四边形
中，
，
是
与
的公垂线段，且
．

（1）证明：
；

（2）若
，求直线
与平面
所成的角的大小．

19．（本题满分12分）已知椭圆
的方程是
，双曲线
的左、右焦点分别是
的左、右顶点，双曲线
的左、右顶点分别是
的左、右焦点．（1）求双曲线
的方程；

（2）若直线
与双曲线
有两个不同的交点
，且
（为原点），求实数的取值范围．

20．（本题满分13分）如图，已知四棱锥
，底面是边长为2的正方形，
底面
，
分别为
的中点，
于
，直线
与平面
所成的角的正弦为
．

（1）求
的长；

（2）求二面角
的大小；

（3）求点
到平面
的距离．

21．（本题满分14分）

设
、
R，常数
．定义运算“”：
．

（1）若
求动点
轨迹C的方程；

（2）若
，不过原点的直线
与轴、轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q , 试求
的取值范围；

（3）设
是平面上的任一点，定义
、

．若在（1）中轨迹C上存在不同的两点A1、A2，使得
成立，求实数的取值范围．



1～5 DABBC 6～10 BDCAC

11．
12．3 13．

14．
15．

16解答：要使方程表示圆，则
．

整理得
，解得
．设圆心的坐标为
，则
，

消去参数可得，
，又
．

故圆心的轨迹方程为
，即
．

17解答：连结
交于点，连结
．

由
知，
即为
与
所成的角．
是正四棱锥，

平面
．又

中，
，

即异面直线
与
所成角的为
．

18解答：（1）由已知

可得
平面
．又
中，

知
，

又
为
在平面
内的射影，

（2）连结
，作
于
，连结
．

由
知，
平面
，

所以平面
平面
，又
，
平面

故
与平面
所成的角为
．

≌

，又
为等边三角形．

记
，则
．

在
中，
，

故在
中，
，故
与平面
所成的角为
．

19解答：（1）由题意知，椭圆焦点为
，顶点
．

所以双曲线
中，
，故双曲线
的方程为
．

（2）联立
得，
．由题意知，

得
???????????????????????????????①

记
，则
．

，由题
，

知
，

整理得
②

由①②知，
，故的取值范围是
．

20解答：（1）由
底面
知，
，又
平面
．

故
与平面
所成的角的正弦为
，

中
，即

（2）由
分别为
的中点，
，又
，所以
平面

，故
为二面角
的平面角．

由
，在
中，
，
，

故
，所以二面角
的大小为
．

（3）作
于
点，

由
，所以
平面

平面
平面

又
，
平面

点
到平面
的距离即为
．

在
中，

，即点
到平面
的距离为
．

21解答：（1）设
,

又由
，可得动点
轨迹的方程为：
．

（2）由题得