命题人：杨爱正 高世军

一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)

1．已知全集
集合
,
,则

A.
B.
C.
D.

2．命题：
，则
是

A.
B.

C.
D.

3. 在
中，“
”是“
为锐角三角形”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2+log23，则输出y 的值为

A.
B.
C.
D.

5. 已知椭圆方程为
,
为其左、右焦 点，
分别为其左、右顶点，若
，则该椭圆的离心率为

A.
B.
C.
D.

6．设函数
，则

A.
为
的极小值点 B.
为
的极大值点

C.
为
的极小值点 D.
为
的极大值点

7．定义在R上的偶函数
，当
时，
，若
，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 已知双曲线
的焦距为10，点
在其渐近线上，则该双曲线的方程为

A.
B.
C.
D.

9. 在
中，角
的对边分别为
，

，若
，

则
的值为

A.
B.
C.3 D.

10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，

则正视图中的的值是

A. B.
C.3 D.

11. 已知函数
，
，则下列结论正确的是

A.把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度，可得到函数
的图象

B. 两个函数的图象均关于直线
对称

C. 两个函数在区间
上都是单调递增函数

D.函数
在
上只有4个零点

12．三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
侧棱
，
，则此三棱锥外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

13．已知
,
，则
=___________.

14．已知变量
满足
，则
的最大值为___________.

15. 设函数
，曲线
在点
处的切线方程为7x-4y-12=0，则
___________.

16．已知椭圆
的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线
的焦点重合；过点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点，且
是线段
的中点，则椭圆
的方程为___________.

三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)

17. (本小题满分10分)

等差数列
中，
为其前项和，已知

.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
,求数列
的前项和
的表达式.

18. (本小题满分12分)

在平面直角坐标系
中，已知圆
：
和点
，过点的直线
交圆
于
两点

（1）若
,求直线
的方程；

（2）设弦
的中点为
,求点
的轨迹方程.

19. (本小题满分12分)

从一批苹果中随机抽取100个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）











频数（个）

15

30

35

20



（1）在频率分布直方图中，求分组重量在
对应小矩形的高；

（2）利用频率估计这批苹果重量的平均数.

（3）用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中抽取5个，从这5个苹果任取2个，求重量在这两个组中各有1个的概率.

20. (本小题满分12分)

如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）
中，

，点棱
的中点，且
.

（1）求证：
；

（2）若
，求四棱锥
的体积.

21. (本小题满分12分)

抛物线
的焦点为，为
上的一点，已知
，直线

的斜率为
（
为坐标原点）.

（1）求抛物线
的方程；

（2）过焦点作两条互相垂直的直线
，设
与
交于
两点，
与
交于
两点，求四边形
面积的最小值.

22. (本小题满分12分)

函数
R

（1）若
，求函数
的单调减区间；

（2）若关于的不等式
恒成立，求实数的范围.

附加题（每小题5分，共15分）

23． 已知球
是棱长为6的正方体
的内切球，则平面
截球

的截面面积为___________.

24．过点
的直线
交抛物线
于
两点，若
与
的面积比为∶，则直线
的斜率为___________.

25．在
中，若
则
的值为___________.

忻州一中2014(2015学年度第一学期期末考试

高二数学(文科)参考答案及评分标准

一.选择题(每小题5分,共60分) 1—5 ABBDB 6—10 CDCBD 11—12 CA

二.填空题(每小题5分,共20分) 13.
14.3 15.4 16.

（2）∵
………6分

∴


………10分

18(12分)解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为

此时
,满足
………2分

当直线l的斜率存在时，设其方程为
即

圆心O到直线l的斜率为：

由
得：
此时直线l的方程为：

∴所求直线l的方程为：
或
。 ………6分

(2)由圆的性质知：
∴
………9分

设
则

∴点
的轨迹方程为：
………12分

19(12分)解：(1)分组重量在
对应小矩形的高为
………3分

(2)这批苹果重量的平均数
……6分

(3)由题知：重量在
的苹果中抽取3个，记为
；重量在
的苹果中抽取2个，记为
.………8分

从这5个苹果中任取2个，所有的基本事件为：（a,b）,(a,c), (a,x)，（a,y）(b,c),(c,x),

(c,y),(c,x),(c,y),(x,y)共10个基本事件 . .………10分

其中重量在这两个组中各有1个的基本事件为：(a,x),(a,y),(c,x),(c,y),(c,x),(c,y)共6个.

故所求概率为
. . .………12分

(2)过
作
于M，∵平面
平面

∴
平面
………8分

∵
∴

∴四边形
的面积
………10分

∴四棱锥
的体积
………12分

21(12分)：解（1）设
，由已知得：
………3分

解得：
，故求抛物线
的方程为
………4分

(2) 由已知直线
的斜率存在且不为0，设其方程为

由
得
………5分

，设
所以

∴
………7分

同理设
所以

∴
………9分

设四边形
的面积
………11分

当且仅当
时，四边形
的面积取得最小值32. ………12分

22(12分)：解（1）
………2分

由
且
得：
………4分

∴函数
的单调减区间为
………5分

（2）依题意
时，不等式
恒成立，

等价于
在
上恒成立. ………7分

令

则
………9分

当
时，
，
单调递增

当
时，
，
单调递减

∴当
时，
取得最大值

故
………12分