命题人：杨爱正 高世军

一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)

1．设集合

，则

A.
B.
C.
D.

2．命题：
，则
是

A.
B.

C.
D.

3. 在
中，“
”是“
为锐角三角形”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2+log23，则输出y 的值为

A.
B.
C.
D.

5. 已知椭圆方程为
,
为其左、右焦 点，
分别为其左、右顶点，若
，则该椭圆的离心率为

A.
B.
C.
D.

6．定义在R上的偶函数
，当
时，
，若
，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7. 已知
为坐标原点,为抛物线
的焦点，为
上一点,若
,

则
的面积为

A. B.
C.
D.

8. 直线
与圆
有公共点，则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

9．已知函数
，
，则下列结论正确的是

A.把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 再向右平移
个单位长度，可得到函数
的图象

B. 两个函数的图象均关于直线
对称

C. 两个函数在区间
上都是单调递增函数

D.函数
在
上只有4个零点

10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，

则正视图中的的值是

A. B.
C.3 D.

11. 已知
是三条不同的直线，命题：“∥
且
”是真命题，如果把
中的两条直线换成两个平面，在所得3个命题中，真命题的个数为

A.
B. C.2 D.3

12． 三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
侧棱
，二面角
的余弦值为
，则此三棱锥外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

13．已知变量
满足
，则
的最大值为___________.

14．设
是双曲线
的左、右焦点，是双曲线与椭圆
的一个公共点，则
的面积为___________.

15. 命题
使
；命题
.

若命题
为真，则实数的取值范围为___________.

16．已知椭圆
的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线
的焦点重合；过点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点，且
是线段
的中点，则椭圆
的方程为___________.

三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)

17. (本小题满分10分)

等差数列
中，
为其前项和，已知

.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
,求数列
的前项和
的表达式.

18. (本小题满分12分)

在平面直角坐标系
中，已知圆
：
和点
，过点的直线
交圆
于
两点

（1）若
,求直线
的方程；

（2）设弦
的中点为
,求点
的轨迹方程.

19. (本小题满分12分)

从一批苹果中随机抽取100个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）











频数（个）

15

30

35

20



（1）在频率分布直方图中，求分组重量在
对应小矩形的高；

（2）利用频率估计这批苹果重量的平均数.

（3）用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中抽取5个，从这5个苹果任取2个，求重量在这两个组中各有1个的概率.

20. (本小题满分12分)

如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）
中，

，点是棱
的中点，且
.

（1）求证：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

21. (本小题满分12分)

在
中，角
的对边分别为
，若
.

（1）求
的值；

（2）若
求
的面积.

22. (本小题满分12分)

已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为
.

（1）求抛物线
的方程；

（2）过点
的直线
与抛物线
交于不同的两点
，若在轴上存在一点

使得
是等边三角形，求
的值.

附加题（每小题5分，共15分）

23．已知球
是棱长为6的正方体
的内切球，则平面
截球
的截面面积为___________.

24．过点
的直线
交抛物线
于
两点，若
与
的面积比为∶ (
为坐标原点)，则直线
的斜率为___________.

25．在数列
中，
，则
___________.

忻州一中2014(2015学年度第一学期期末考试

高二数学(理科)参考答案及评分标准

二.填空题(每小题5分,共20分) 13.3 14.24 15.
16.

17(10分) 解：(1)设等差数列
的公差为d

则

又
即
∴
② ………3分

由①、②得：
∴
………5分

（2）∵
………6分

∴

………8分

………10分

(2)由圆的性质知：
∴
………9分

设
则

∴点
的轨迹方程为：
………12分

19(12分)解：(1)分组重量在
对应小矩形的高为
………3分

(2)这批苹果重量的平均数
……6分

(3)由题知：重量在
的苹果中抽取3个，记为
；重量在
的苹果中抽取2个，记为
.………8分

从这5个苹果中任取2个，所有的基本事件为：（a,b）,(a,c), (a,x)，（a,y）(b,c),(c,x),

(c,y),(c,x),(c,y),(x,y)共10个基本事件 . .………10分

其中重量在这两个组中各有1个的基本事件为：(a,x),(a,y),(c,x),(c,y),(c,x),(c,y)共6个.

故所求概率为
. . .………12分

20(12分)解：(1) ∵四边形
为矩形 且是棱
的中点

∴
又
且
∴
………3分

∴
又∵
且

∴

∴
………6分

(2)由（1）知：
两两相互垂直，以
分别为
轴的正半轴建立空间直角坐标系，

设
， 则C(0,0,0),D(1,0,1),B(0,1,0),C1(0,0,2) ………8分

设平面
的法向量为

即
取x=1,得
………10分

又
设直线
与平面
所成角为

则

故直线
与平面
所成角的正弦值为
………12分

21(12分)：解（1）由正弦定理得：
………2分

∴

又
∴
为内角 ∴
………6分

∴
………7分

(2) 由
得：
………9分

∴
∵
∴
∴
………11分

∴
的面积
………12分

（2）由题意知：直线l的斜率存在且不为0，设其方程为：

则
消去x得：

得：

又

点到EF的距离

所以

得
………11分

∴
………12分