命题学校：广州市第二中学 命题：高二理数备课组 审核：高二理数备课组

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：
（
是锥体的底面积，
是锥体的高）

第一部分选择题（共40分）

一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）

1．已知集合
，集合
，则集合
( )

A.
B.
C.
D.

2．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

3．已知向量
，向量
，若
，则
为（ ）

A．（-2，2） B．（-6，3） C．（2，-1） D．（6，-3）

4．直线
：
与圆O：
相交于A，B两点，则“
”是“△OAB的面积为
”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

5． 直三棱柱
中，若
，
，则异面直线

与
所成的角等于( )

A.
B.
C.
D.

6．在
中，点M是BC中点，若
，
，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．若函数
满足
＝
，且当
时，
，则
的大小关系为( )

A.
B.

C.
D.

8．已知双曲线
的左焦点
，过点F作圆：
的切线，切点为，延长
交双曲线右支于点，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

第二部分非选择题（110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

9．计算
_________

10、已知函数
则
=_________

11．已知椭圆
，其焦距为
，长轴长是焦距的
倍，
的一个等比中项为
，则
________

12．在平面直角坐标系
中，设D是由不等式组
表示的区域，E是到原点的距离小于或等于1的点构成的区域，若向区域E中随机投一点，则所投点落在区域D中的概率是_________

13、已知
为锐角三角形，且满足
，则实数t的取值范围是_________．

14、数列
中，
，且

，则数列
的前2014项的和为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分12分）

已知向量
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）若
为锐角，且
，求
的值

16.（本题满分12分）

甲、乙两所学校高二年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高二年级学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分组

[70,80）

[80,90）

[90,100）

[100,110）



频数

3

4

8

15



分组

[110,120）

[120,130）

[130,140）

[140,150]



频数

15



3

2





甲校:

?

乙校：?

?

分组

[70,80）

[80,90）

[90,100）

[100,110）



频数

1

2

8

9



分组

[110,120）

[120,130）

[130,140）

[140,150]



频数

10

10



3



?

?

?

?

（Ⅰ）计算，的值；

（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；

（Ⅲ）若规定考试成绩在[140,150]内为特优, 甲、乙两所学校从抽取的5张特优试卷中随机抽取两张进行张贴表扬,求这两张试卷来自不同学校的概率.

17.（本题满分14分）已知梯形
中
，
，

，、分别是
、
上的点，

，
．

沿
将梯形
翻折，使平面
⊥平面
(如图)．
是
的中点．

（Ⅰ）当
时，求证：
⊥
；

（Ⅱ）当变化时，求三棱锥
的体积
的最大值．

19．（本题满分14分）数列
的前项和为
，数列
是首项为
，公差不为零的等差数列,且
成等比数列．

（1）求
的值； （2）求数列
与
的通项公式；

（3）求证：
．

20.（本题满分14分）

已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
，离心率为
，椭圆上的动点到直线
的最小距离为2，延长
至
使得
，线段
上存在异于
的点满足
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求点的轨迹
的方程；

（Ⅲ）求证：过直线
上任意一点必可以作两条直线与的轨迹
相切，并且过两切点的直线经过定点.

2014年高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学答案

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解：（1）甲校抽取110×
60人，……1分

乙校抽取110×
=50人，…2分

故x＝10， y＝7， ……4分

（2）估计甲校优秀率为
，…5分

乙校优秀率为
＝40%. ……6分

两张试卷来自不同学校有6种可能:

………11分 所以这两张试卷来自不同学校的概率为:
………… 12分

?（1）方法一：∵平面
平面
，

AE⊥EF，∴AE⊥平面
，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

，又
为BC的中点，BC=4，

．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），
（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴
．………………8分

或
………14分

19解析：（1）∵
，

∴当
时，
，解得
；当
时，
，解得
；

当
时，
，解得
．-----------------3分

（2）当
时，
，-----------------5分

得
又
，
，∴数列{
}是以2为首项，公比为2的等比数列，

所以数列{
}的通项公式为
．-----------------6分

，设公差为
，则由
成等比数列，

得
，-----------------7分

解得
（舍去）或
，----------------8分

所以数列
的通项公式为
．-----------------9分

（3）令

，

，-----------------11分

又
，故
．-----------------14分

（2）解法1：设点的坐标为
.

当
重合时，点坐标为
和点
，…………………5分

当
不重合时，由
，得
.………6分

由
及椭圆的定义，
，……7分

所以
为线段
的垂直平分线，为线段
的中点

在
中，
，…………8分

所以有
.

综上所述，点的轨迹
的方程是
.………………9分

解法2：设点的坐标为
.

当
重合时，点坐标为
和点
，……………5分

当
不重合时，由
，得
.……6分

由
及椭圆的定义，
，……7分

所以
为线段
的垂直平分线，为线段
的中点

由
,得
, ②

将(代入(，可得
.

综上所述，点的轨迹
的方程式
.③………9分

直线
与
相离，