2014-2015学年度第一学期阶段3联考高二级理科数学试题

本试卷共4页，20题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号、班级填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式为
，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

圆锥表面积S表面积=
，其中为底面半径，
为圆锥的母线长。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则( )

A．M∩N = { 4，6 } B．M∪N = U C．(
N )∪M = U D．(
M )∩N = N

2.设
，，均为直线，其中，在平面内，则“
”是“
”的 （　　）

A．充分不必要条件 　　B.必要不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.如果执行右面的程序框图，那么输出的
( 　 )

A 22 B 46 C
D 190

4.设是甲抛掷一枚骰子得到的点数。则方程
有两个

不等实根的概率为（ 　　 ）

A
B
C
D

5.双曲线

则p的值为(　 　）

A．－2 B．－4 C．2 D．4

6．已知
是等差数列，
，
，则过点
的直线的斜率（　　）

A．4 B．
C．－4 D．－14

7.已知两点
，若直线上存在点，使
，则称该直线为“型直线”.给出下列直线：①
；②
；③
；④
，其中为“型直线”的是（ 　 ）

A.①② B.①③ C. ①④ D. ③④

8．已知
，
是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点且直线
的斜率分别为
，
，则
的最小值为,则椭圆的离心率为( ).

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9.某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是 ．

10．若圆
与抛物线
的准线相切，则的值是 。

11.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为

的等腰三角形俯视图是半径为的半圆，，则该几何体的

表面积是 。

12.设变量
满足约束条件
，则目标函数

取得最大值时的点的坐标是 。

13.若平面向量
和
互相平行，其中
.则
。

14. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中,
,AB=AC=A1A=1,

已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB

上的动点（不包括端点）。若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值

范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

求下列直线l的方程：

(1)过点A(2,1)和直线x－2y－3＝0与2x－3y－2＝0的交点；

(2)过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是　。

16. （本小题满分12分）

如图，在棱长为的正方体
中，、分别为
、
的中点。

（Ⅰ）求证：
//平面

（Ⅱ）求证：
⊥

(Ⅲ)求三棱锥
的体积

17. （本小题满分14分）

设函数
,
．

(Ⅰ) 若
,求
的最大值及相应的的取值集合；

（Ⅱ）若
是
的一个零点,且
,求的值和
的最小正周期.

18. （本小题满分14分）

如图，在三棱拄
中，
侧面
，已知

（1）求证：
；

（2）试在棱
(不包含端点
上确定一点的位置,使得
；

(3) 在（2）的条件下,求二面角
的平面角的正切值.

19. （本小题满分14分）

设
上的两点，

已知
，
，若
且椭圆的离心率
短轴长为2，
为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

20. （本小题满分14分）

已知二次函数
同时满足：

①不等式
≤0的解集有且只有一个元素；

②在定义域内存在
，使得不等式
成立。

设数列｛
｝的前项和
．

（1）求函数
的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛
｝中，所有满足
的整数的个数称为这个数列｛
｝的变号数，令
（
）,求数列｛
｝的变号数；　

（3）设数列｛
｝满足：
，试探究数列｛
｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

2014—2015学年度第一学期阶段3联考

高二理科数学参考答案

选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

A

D

A

Ｃ

Ｃ



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9、 18 10、 1 11、
12、
13、2或
14、.[
，1)

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

15. （本小题满分12分）

[解] (1)解方程组得---------2分

即两条直线的交点为(－5，－4)．

由两点式得＝，即5x－7y－3＝0.-----------------5分

(2)设直线l的倾斜角为α，

则sin＝，∴
-------------------7分

tan＝
= ±， --------------------------9分

由斜截式得y＝±x＋2， -------------------------11分

即3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0. ------------------------12分

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连结BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF//D1B

---------------3分

（Ⅱ）∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1，

AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，

AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1。

又∵BD1平面ABC1D1， ∴B1C⊥BD1，

而EF//BD1，∴EF⊥B1C。--------------------8分

(Ⅲ)三棱锥
的体积
-------12分

17. （本小题满分14分）

【解析】(Ⅰ)
…………………………2分

当
时,
，

而
,所以
的最大值为
, …………………………4分

此时
,
,即
,
,----------------6分

相应的的集合为
. …………………………7分

（Ⅱ）依题意
,-------------------8分

即
,
,…………………………9分

整理,得
, …………………………10分

又
,所以
,
, …………………………12分

而
,所以
,
, ----------------------------13分

所以
,
的最小正周期为.……14分

18. （本小题满分14分）

证明（1）因为
侧面
，故
在
中，

由余弦定理有
-----2分 故有
-------------------------3分 而
且
平面

-------------4分（2）

从而
且
故
---------6分 不妨设
，则
，则
又
则
在
中有
从而
（舍负）-----8分故为
的中点时，
-------------------------------9分（3）取
的中点，
的中点，
的中点
，
的中点
连接
则
，连接
则
，连接
则
连接
则
，且
为矩形，
-----------------11分又
故
为所求二面角的平面角 -------12分在
中，

------------------13分

------------------14分

法二：（2）以为原点
为
轴，设
，则

由
得
即
化简整理得
，
或
当
时与
重合不满足题意

当
时为
的中点 故为
的中点使
（3）法二：由已知
， 所以二面角
的平面角
的大小为向量
与
的夹角 因为

故

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）

∴ 椭圆的方程为
--------------------------------2分

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为
---------------------------3分

由已知
得：

-----------8分

(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即
,由
得

又
在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值 ----------------------------------------------10分

（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

------------------------------------------------------12分

所以三角形的面积为定值. ------------------------------------------14分

20. （本小题满分14分）

解（１）∵不等式
≤0的解集有且只有一个元素

∴
　解得
或
----------------------------------1分

当
时函数
在
递增，不满足条件②

当
时函数
在（０，２）上递减，满足条件②

综上得
，即
-------------------------------------3分

（２）由（１）知

当
时，
；

当≥２时
＝
＝

∴
由题设可得
-------------5分

∵
，
，

∴
，
都满足
----------------------------------6分

∵当≥３时，

即当≥３时，数列｛
｝递增，

∵

，由

，可知
满足
------8分

∴数列｛
｝的变号数为３。 --------------------------------------9分

（３）∵
＝
,　由（２）可得：

---------------10分

＝
＝
---------12分

∵当
时数列｛
｝递增，∴当
时，
最小,

又∵
， ∴数列｛
｝存在最小项
-----------------------14分