一、选择题（每小题3分，共36分）

1．曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

2．下列求导结果正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．函数
的单调递减区间是()．

A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)

4．
在区间[－1，1]上的最小值是( )．

A．1 B．－2 C．2 D．－1

5．已知函数
，若
在区间
上单调递减，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
，且f '(1)＝2，则的值为( ) ．

A．1 B．
C．－1 D．0

7． 已知P, Q为抛物线
上两点，点P,Q的横坐标分别为4， 2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8

8． 已知
，现给出如下结论：

①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.

其中正确结论的序号是( 　)

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

9. 若
的定义域为，
恒成立，
，则
解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知直线
与曲线
相切于点(1，3)，则b的值为( )．

A．3 B．－3 C． 5 D．－5

11. 设函数
，则（ ）

A.
为
的极大值点 B.
为
的极小值点

C.
为
的极大值点 D.
为
的极小值点[学

12. 已知函数
的图象与轴恰有两个公共点，则c＝( )

A. -2或2 B. -9或3 C. -1或1 D. -3或1

二、填空题（每小题3分，共16分）

13．一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，1.1]内的平均速度为 m/s，

在t＝1时的瞬时速度为 m/s．

14．函数y＝x3＋ax2＋x在R上是增函数，则a的取值范围是 ．

15．如图，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程

是y＝－x＋8，则f(5)＋f '(5)= ．

16．已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′()＋sin x，

则f′()＝________.

三、解答题

17．(8分) 已知曲线
,

(1) 求曲线在点P(2,f(2))处的切线方程;

(2) 求曲线过点P(2,
)的切线方程。

18．(10分) 已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1) 求a的值；

(2) 求函数f(x)的单调区间与极值．

19． (10分) 设函数
.

（1）求
的单调区间；

（2）设函数
，若当
时，
恒成立，求的取值范围.

20． (10分) 已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.

(1) 若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2) 若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

21．

(1) 讨论函数
的单调区间；

（2）设函数
在区间
内是减函数，求的取值范围。

 数学(理科) 参考答案

三、解答题

17.解：设过点P(2,
)的直线与曲线相切，切点坐标为
，

所以切线的斜率为

所以切线方程为
，

因为切线过点P(2,
)，

所以
，

解得

当
时，切线方程为

当
时，切线方程为

所以，所求切线方程为

18．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.

(2) 由(1)知f(x)＝＋－ln x－，

则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．

当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.

19.解： ：（1）解：因为
，其中
． 所以
， 2分

当
时，
，所以
在
上是增函数 4分

当
时，令
，得

所以
在
上是增函数，在
上是减函数. 6分

（2）解：令
，则
，

根据题意，当
时，
恒成立. 8分

所以

（1）当
时，
时，
恒成立.

所以
在
上是增函数，且
，所以不符题意 10分

（2）当
时，
时，
恒成立.

所以
在
上是增函数，且
，所以不符题意 12分

（3）当
时，
时，恒有
，故
在
上是减函数，

于是“
对任意
都成立”的充要条件是
，

即
，解得
，故
.

综上所述，的取值范围是
. 15分

20.解　(1)∵f(x)＝ln x＋，∴f′(x)＝－.

∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴f′(x)＝－≥0在[2，＋∞)上恒成立，

即a≤在[2，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝，则a≤[g(x)]min，x∈[2，＋∞)，

∵g(x)＝在[2，＋∞)上是增函数，

∴[g(x)]min＝g(2)＝1.

∴a≤1.所以实数a的取值范围为(－∞，1]．

(2)由(1)得f′(x)＝，x∈ [1，e]．

①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，

此时f(x)在[1，e]上是增函数．

所以[f(x)]min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去)．

②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.

当1

所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a0，所以f(x)在(2a，e)上是增函数．

所以[f(x)]min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，

解得a＝(舍去)．

③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．

所以[f(x)]min＝f(e)＝1＋＝3，得a＝e.适合题意．

综上a＝e.