（1-16班用）

第一卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知复数满足方程
（为虚数单位），则

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
，若
，则的值等于

A．
B．
C．
D．

3．如图，函数y＝f(x)的图象，则该函数在
的瞬时变化率大约是

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

4．过曲线
图象上一点(2, 2)及邻近一点(2
,2
)

作割线，则当
时割线的斜率为

A．
B．
C．1 D．

5．若二次函数f(x)的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数
(x)的

图象如右图所示，则函数f(x)图象的顶点在

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

6．已知向量
=(2,4,5)，
=(3,x,y) 分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则

A．x=6、y=15 B．x=3、y=
C．x=3、y=15 D．x=6、y=

7．对于两个复数
，
，有下列四个结论：①
；②
；③
；④
，其中正确的结论的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图，在棱长为2的正方体
中，O是底面ABCD

的中心，E、F分别是
、AD的中点，那么异面直线OE和

所成的角的余弦值等于

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
，则

A．
B．
C．
D．

10．已知双曲线
(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=
x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

11．已知不等式
恒成立，则k的最大值为

A．e B．
C．
D．

12．对于三次函数
，给出定义：设
是函数y=f(x)的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数y=f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．

设函数
，则
=

A．2014 B．2013 C．
D．1007

第二卷（非选择题，共90分）

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为
，那么第四个顶点对应的复数是 ▲ ．

14．若直线
的方向向量
，平面的一个法向量
，则直线
与平面所成角的正弦值等于 ▲ ．

15．椭圆
（

）的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线与椭圆的一个交点为
，若
垂直于
，则椭圆的离心率为 ▲ ．

16．如图，直线
将抛物线
与轴所围图形

分成面积相等的两部分，则
= ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同．已知直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的极坐标方程为
．

(Ⅰ)若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为
，求直线l的参数方程（标准形式）．

18．（本题满分12分）已知函数f(x)= ex－ax－1．

(Ⅰ)若a=1，求证：
；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的值域．

19．（本题满分12分）如图，直三棱柱
中，
，
，D是棱
上的动点．

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若平面BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分，

试确定点D的位置，并求二面角
的大小．

20．（本题满分12分）一块长为、宽为
的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数；

(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值．

21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点
和
，动点M满足
，设点M的轨迹为C，半抛物线
：
（
），设点
．

(Ⅰ)求C的轨迹方程；

(Ⅱ)设点T是曲线
上一点，曲线
在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

22．（本小题满分12分）已知函数
，
．

(Ⅰ)若
，求函数
的极值；

(Ⅱ)设函数
，求函数
的单调区间；

(Ⅲ)若在区间
上不存在
，使得
成立，求实数的取值范围．



一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

D

B

D

D

C

B

B

C

A

A





二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
； 14．
； 15．
； 16．
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的极坐标方程为
．

(Ⅰ)若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为
，求直线l的参数方程（标准形式）．

(Ⅱ) C：(x2)2+y2=4，弦心距
，（6分）

设直线l的方程为kxy+k+1=0，∴
，∴k=0或k=
．（8分）

∴直线l：
(t为参数)或
(t为参数)（10分）

18．（本题满分12分）已知函数f(x)= ex－ax－1．

(Ⅰ)若a=1，求证：
；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的值域．

18．解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)= ex－x－1，由
得

x

(
)

0





f’(x)



0

+



f(x)

单调减

极小值

单调增



∴
，从而
，即证
恒成立；（6分）

(Ⅱ)f(x)的定义域为R，
.

若
，则
，所以f(x)在R上单调递增，值域为R；（8分）

若
，则当
时，
；当
时，
；

所以，f(x)在
上单调递减，在
上单调递增，

，值域为
．（12分）

19．（本题满分12分）如图，直三棱柱
中，
，
，D是棱
上的动点．

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若平面BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分，

试确定点D的位置，并求二面角
的大小．

19．解：(Ⅰ)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥BC（1分）

又
，即BC⊥AC，AC∩C1C = C

∴BC⊥平面ACC1A1，

又DC1平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（4分）

(Ⅱ)∵
，

依题意
，

∴
，D为AA1中点；

（7分）

（法1）取
的中点
，过点
作
于点
，连接

，面
面

面

，得点
与点重合，且
是二面角
的平面角． （10分）

设
，则
，
，得二面角的大小为
．

（12分）

（法2）以C为空间坐标原点，CA为x轴正向、CB为y轴正向、CC1为z轴正向，建立空间直角坐标系，设AC的长为1，则A(1,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,1)、A1(1,0,2)、B1(0,1,2)、C1(0,0,2)． （8分）

作AB中点E，连结CE，则CE⊥AB，从而CE⊥平面A1BD，平面A1BD的一个法向量
（9分）

设平面BC1D的一个法向量为
，则

∴
，令
，得
，∴

∴

故二面角
为
． （12分）

20．（本题满分12分）一块长为、宽为
的长方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数；

(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值．

20．解：(Ⅰ)依题意，折成无盖方盒的长为
、宽为
、高为，故体积

，其中常数
；（5分）

(Ⅱ)由
（6分）得
，（7分）

在定义域内列极值分布表（10分）

x

(0,
)







f’(x)

+

0





f(x)

单调增

极大值

单调减



∴
．（12分）

21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点
和
，动点M满足
，设点M的轨迹为C，半抛物线
：
（
），设点
．

(Ⅰ)求C的轨迹方程；

(Ⅱ)设点T是曲线
上一点，曲线
在点T处的切线与曲线C相交于点A和点B，求△ABD的面积的最大值及点T的坐标．

21．解：（Ⅰ）设点
，由
，得
，

所以的轨迹方程是
；（4分）

（Ⅱ）抛物线
为
，设
（
），则
，所以切线为：

，即
，联立
，
,

判别式△
，设
，
，则
，过点作轴的垂线交直线
于点，于是
，得
，则
，

故△ABD的面积


，此时
．（12分）

22．（本小题满分12分）已知函数
，
．

(Ⅰ)若
，求函数
的极值；

(Ⅱ)设函数
，求函数
的单调区间；

(Ⅲ)若在区间
上不存在
，使得
成立，求实数的取值范围．

22．解：(Ⅰ)当
时，
，列极值分布表

∴
在
上递减，在
上递增，∴
的极小值为
； …… 3分

(Ⅱ)
∴
…… 4分

①当
时，
，∴
在
上递增；

②当
时，

，

∴
在
上递减，在
上递增； ……… 7分

(Ⅲ)先解区间
上存在一点
，使得
成立

在
上有解
当
时，
……… 8分

由(Ⅱ)知

①当
时，
在
上递增，∴
∴

②当
时，
在
上递减，在
上递增

(ⅰ)当
时，
在
上递增，∴
，∴无解

(ⅱ)当
时，
在
上递减

∴
，∴
；

(ⅲ)当
时，
在
上递减，在
上递增

∴

令
，则

∴
在
递减，∴
，∴
无解，

即
无解；

综上：存在一点
，使得
成立，实数的取值范围为：
或
．

所以不存在一点
，使得
成立，实数的取值范围为
．

………… 12分