考试时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.命题
的否定是

A.
B.

C.
D.

3．双曲线
的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

4．方程
表示焦点在轴上的椭圆，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

5．同时掷两个骰子，则向上的点数和为8的概率是

A.
B.
C.
D.

6．根据秦九韶算法求
时
的值，则
为

A.
B.
C.
D.

7．在长方体
中，
，
为
与
的交点，则三棱锥
的体积为

A.
B.
C.
D.

8．右面的程序框图表示求式子
的值，则判断框内

可以填的条件为

A.
B.
C.
D.

9．已知
和是两个分类变量，由公式
算出
的观测值
约为
，根据下面的临界值表可推断

0.10

0．05

0.025

0．010

0.005

0．001





2.706

3．841

5.024

6.635

7.879

10．828





A.推断“分类变量
和没有关系”犯错误的概率上界为0.010

B.推断“分类变量
和有关系”犯错误的概率上界为0.010

C.有至少99%的把握认为分类变量
和没有关系

D.有至多99%的把握认为分类变量
和有关系

10．在四面体
中，
，
，且平面
平面
，
为
中点，则
与平面
所成角的正弦值为

A.
B.
C.
D.

11．三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
是
的中点，点在
上，且满足
，直线
与平面
所成角
的正切值取最大值时
的值为

A.
B.
C.
D.

12．已知
是抛物线
上异于顶点
的两个点，直线
与直线
的斜率之积为定值
，为抛物线的焦点，
的面积分别为
，则
的最小值为

A.
B.
C. D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．在集合
内任取一个元素，能使代数式
的概率为__________

14．直线
与抛物线
交于
两点，若点
，则
的值为__________

15．在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
，
，为
的中点，点
在面
内，且
平面
，则点
到
的距离为

16．下列关于回归分析的说法正确的是 (填上所有正确说法的序号)

①相关系数越小，两个变量的相关程度越弱；②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；③用相关指数
来刻画回归效果时，
越小，说明模型的拟合效果越好；④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使
取最小值时的
的值；⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.

三、解答题（本大题共6小题，17题满分10分，18、19、20、21、22题每题12分，共70分）

17.某学校从参加高一年级期末考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
，
，…，
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（I）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和

平均分；

(Ⅲ) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，

求他们在同一分数段的概率.

18.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：
平面BCD；

（II）求点E到平面ACD的距离.

19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

日 期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日



昼夜温差x(°C)

10

11

13

12

8

6



就诊人数y(个)

22

25

29

26

16

12



该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程
；

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式:
，
)

20.如图，三棱柱
侧棱垂直于底面,
,
,为
的中点.

(Ⅰ)求证：
平面

(Ⅱ) 若
,求二面角
的余弦值.

21.已知椭圆
：
的左、右焦点分别是
、
，
是椭圆外的动点，满足
点P是线段
与该椭圆
的交点，点在线段
上，并且满足

(Ⅰ)求点的轨迹
的方程；

(Ⅱ) 过原点的直线
与曲线
分别交于点
（
不重合），

设
，
的面积分别为
，
，求
的取值范围.

22.已知抛物线
顶点为O(0,0),焦点为F(1,0),A为C上异于顶点的任意一点，过点A的直线
交C 于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有
，延长AF交曲线C于点E. 过点E作直线
平行于
, 设
与此抛物线准线交于点
.

(Ⅰ)求抛物线的
的方程；

(Ⅱ)设点
的纵坐标分别为
、
、
，求
的值；

(Ⅲ)求
面积的最小值.



数学试卷(理科)答案

一、选择题

1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.B 10.D 11.A 12.D

二、填空题

13.
14. 2 15.
16. ④⑤

三、解答题

17.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

第四组小矩形的高为
…2

（Ⅱ）这次考试的及格率为
…4

利用组中值估算抽样学生的平均分

＝71

估计这次考试的平均分是71分 …6

（Ⅲ）
，
”的人数是5,1。所以从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

…10

18．(Ⅰ)证明：
为
的中点，
，

,
，
，
，

又

，
，

，
均在平面
内，
平面
…6

(Ⅱ)方法一：以
为坐标原点，以
方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则
，

设
为平面
的法向量，则
，

取
，

，则点到平面
的距离为
…12

方法二：设点
在
上，且
，连
，

为
的中点，

平面
，
平面
，

平面
，
平面

平面
，平面
平面
，且交线为

过点
作
于点，则
平面

分别为
的中点，则

平面
，
平面
，

平面
，
点到平面
的距离即
，

故点到平面
的距离为

19.解：(Ⅰ)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A．因为从6组数据中选

取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的

其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种

所以
…4

(Ⅱ)由数据求得

由公式求得

再由

所以