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　　高二下期中考数学（理科）试卷.doc

　　高二下理科数学期中考答案.doc

仙游一中2014—2015学年度下学期期中考试

高二数学（理科）试卷

（命题人：杨超拔，满分：150分，答卷时间: 120分钟）

一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分，每题仅一个正确选项）

1．已知复数
的共轭复数
(
为虚数单位)，则
在复平面内对应的点位于(　 )

A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．在用反证法证明命题“已知
，求证
，
，
不可能都大于
”时，反证时假设正确的是(　　)

．假设
，
，
都小于

．假设
，
，
都大于

．假设
，
，
都不大于

．以上都不对

3．参数方程为
表示的曲线是（ ）

A．两条射线 B．两条直线 C．一条射线 D．一条直线

4.式子
等于（ ）．

A．
B．
C．
D．

5.在某一试验中事件A出现的概率为
，则在
次试验中
出现
次的概率为（ ）

A . 1－
B.
C.
D. 1－

6．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”；已知
在
上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由
计算出
．

0．050

0．010

0．001





3．841

6．635

10．828





并参照附表，得到的正确结论是（ ）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

9．已知椭圆C:
的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个

不同的点
，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

10.某市环保部门准备对分布在该市的
等8个不同检测点的环境监测设备进行监测维护.要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中
两个监测点分别安排在星期一和星期二，
三个监测点必须安排在同一天，
监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（ ）

A.60 B. 48 C.40 D. 36

二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）

11.若随机变量
满足
, 则
的标准差为

12.已知抛物线
的焦点是双曲线
的右焦点，则双曲线的渐近线方程

为

13. .已知
，则二项式
的展开式中
的系数为

14
如果
，

那么

=___ __

15．下列命题：

①若
存在导函数，则
；②若函数
，则
；

③若函数
，则
；

④若三次函数
，则“
”是“f(x)有极值点”的充要条件;

⑤函数
的单调递增区间是
．

其中真命题为__ ______．(填序号)

三．解答题（本大题有5小题，共80分，写出必要的计算和证明过程）

16．（本小题共13分）一个袋中装有除颜色外其余均相同的球，其中红球5个、黑球3个，现在从中随机摸出3个球.

（Ⅰ）求至少摸出一个红球的概率;

（Ⅱ）求摸到黑球个数
的分布列和数学期望.

17. （本小题共13分）观察以下5个等式：

……

照以上式子规律：

（Ⅰ）写出第
个等式，并猜想第
个等式；（
）

（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第
个等式成立。（
）

18．（本小题共13分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布
。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可供查阅的（部分）标准正态分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.8880

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857



 19．（本小题共13分）如图，在极坐标系
中，已知曲线

；

或
；

。

（Ⅰ）求由曲线
围成的区域的面积；（6分）

（Ⅱ） 设
，射线
与曲线
分别交于
（不同于极点
）两点。若线段AB的中点恰好落在直线MN上，求
的值。（7分）

20．（本小题共14分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X

40

80≤X≤120

X>120



发电机最多

可运行台数

1

2

3



若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

21．(本小题共l4分)设函数
，其中
和
是实数，曲线
恒与
轴相切于坐标原点．

（Ⅰ）求常数
的值；

（Ⅱ）当
时，关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（III）求证：对于任意的正整数
，不等式
恒成立.