一、单项选择（10*3＝30分）

1、已知
，则复数
是虚数的充分必要条件是 （ ）

A.
B.
C.
D.
且

2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）

A.假设三内角都大于60度 B．假设三内角都不大于60度

C.假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度

3、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以
＞0”，你认为这个推理( )

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

4、已知i为虚数单位，复数
，则复数
在复平面上的对应点位于（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

5、如图中阴影部分的面积是 （ ）



A．
B．
C．
D．

6、函数
的单调递减区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知数列
为等比数列，且
，则
的值为（ ）

A．
B．
C． D．

8、设函数
在定义域内可导，
的图象如图，则导函数
的图象可能为 （ ）

9、已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)

A.
B.
C.
D.

10、直线
与双曲线
有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（4*4＝16分）



11、用数学归纳法证明“
对于
的自然数都成立”时，第一步中的值
应取

12、根据下列4个图形及黑方块的个数的变化规律，现用
表示第n个图黑方块总数，则
___________，试猜测
__________.

13、若函数
，
，则的值为__________.

14、已知直线与椭圆
交于
两点，设线段
的中点为，若直线的斜率为
，直线
的斜率为
，则
等于 .

三、解答题（共54分）

（10分）15、根据要求证明下列各题：

（1）用分析法证明：

（2）用反证法证明：1，
，3不可能是一个等差数列中的三项

（10分）16、若a，b， c是不全相等的正数，求证：

lg
＋lg
＋lg
＞lg a＋lg b＋lg c.

（10分）17、如图1，在Rt
中，
，
．
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2.



（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成二面角的大小．

（12分）18、已知双曲线C与椭圆
有相同的焦点，实半轴长为
．

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）若直线
与双曲线
有两个不同的交点和,且
（其中
为原点）,求
的取值范围．

（12分）19、 设函数
，函数
(其中a∈R，e是自然对数的底数）．

(1)当a=0时，求函数
的极值；

(2)若
在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案

一、单项选择

二、填空题

11、【答案】5

12、【答案】41，

13、【答案】

14、【答案】

【解析】

三、解答题

15、试题解析：（1）要证：
；即证：
；

即证：
；即证：
；

即证：
；即证：
；而
显然成立，且以上各步皆可逆，

所以：

（其他方法参照给分）

（2）假设1，
，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第
项（
），

则数列的公差
，则
，

因为
，所以
，所以
为有理数，

所以
是有理数，这与
是无理数相矛盾。

故假设不成立，所以1，
，3不可能是某等差数列的三项。

16、【答案】证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴
≥
＞0，
≥
＞0，
≥
＞0.

又上述三个不等式中等号不能同时成立．

∴
·
·
＞abc成立．

上式两边同时取常用对数，

得lg
＞lg abc，

∴lg
＋lg
＋lg
＞lg a＋lg b＋lg c.

17、

试题解析：（Ⅰ）证明：在△
中，

.又
.

由

.

（Ⅱ）如图,以为坐标原点，建立空间直角坐标系
．取A1C的中点F，连DF，

则

由（1）可知，
,从而

为平面
的法向量，

又
，

设平面
的法向量为

由

平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为

考点：线面垂直的判定与性质、空间向量的应用.

18、

试题解析：（1）解：设双曲线的方程为

,
,

故双曲线方程为
．

（2）解：将
代入
得

由
得
且

设
,则由
得

=

,得

又
，
,即

19、【答案】（1）函数
在
处取得极大值
，无极小值；（2）
.

（1）

函数

当x<1时，
；当x>1时，
,故函数在
上单调递增，在
上单调递减.∴函数
在
处取得极大值
.函数
无极小值.

（2）由题
在
上恒成立，

当
则
，若
则
恒成立，则
.

不等式
恒成立等价于
在
上恒成立，

令
则

又令
则
.

①当
时，
则
在
上单调递减，∴

∴
在
上单减，∴
即
在
上恒成立

②当
时，

（i）当
，即
时，
则
在
上单调递减，

∴
∴
在
上单调递减，∴

此时
在
上恒成立；

（ii）若
，即
时，若
时，
则
在
上单调递增，