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揭阳一中2014-2015学年度高二级第二学期第二次阶段测试 （文科）数学试卷 命题人：方少萍 审题人：蔡秋明 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1．设全集U是实数集R，集合A＝{y|y＝3x，x>0}，B＝{x|y＝}， 则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x| 1＜x＜2} D．{x| 1＜x≤2} 2．命题：“若x2<1，则－1 A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1 C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 3．如图所示的框图输出结果为（ ） A．1023 B．1024 C．511 D．2047 4．函数f(x)=(x2–2x)ex的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5．设（其中），则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．观察各式：，，，，……，可以得出的一般结论是（ ） A． B． C． D． A． B． C． D． 9．若关于的方程在上有实根，则实数的取值范围是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则＝（ ） A．1 B．2 C．2013 D．2014 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上). 11．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 12．若函数在处取极值，则__________ 13．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点 为，若，则点的横坐标为 . 14．记等差数列的前n项的和为，利用倒序求和的方法得：；类似地， 记等比数列的前n项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，将表示成首项、末项与项数n的一个关系式，即= . 三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（本小题满分12分）已知函数。 （1）求的值； （2）求的最大值和最小值. 16.（本小题满分12分）如图，四棱锥P–ABCD的底面ABCD是 边长为2的菱形，∠BAD＝60°，且PB＝PD＝2，PA＝. (1)证明：PC⊥BD； (2)若E为PA的中点，求三棱锥P–BCE的体积． 17．（本小题满分14分）究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据： 无效 有效 合计 男性患者 15 35 50 女性患者 4 46 50 合计 19 81 100 请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？ （2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程） （3）根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者 所占的比例？说明理由． 参考附表： 其中. P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18.（本小题满分14分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且有； （1）求、的通项公式； （2）若，的前项和为，求. 19.（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点为F(2,0)，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且 ，证明：直线过定点（）． 20.（本小题满分14分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）证明：. 揭阳一中2014-2015学年度高二级第二学期第二次阶段测试 （文科）数学试卷参考答案 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 …12分 16.解：（1）证明：连接AC，交BD于O点，连接PO., 因为底面ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，BO＝DO. …2分 因为E是PA的中点， 所以VP -BCE＝VC -PEB＝VC -PAB＝VB -APC., …6分 由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.…7分 因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝，BO＝1. 又PA＝，PO 2＋AO 2＝PA 2，即PO⊥AC， 故S△APC＝PO·AC＝3. …9分 （?）由?1?知，BO⊥平面APC，因此VP -BCE＝VB -APC,＝··BO·S△APC＝.…12分 (3)根据(2)的结论可知，服用该药品的患者是否有效与性别有关，服用该药品女患者和男性患者有效的比例有明显差异；因此在调查时，先确定患此病的患者中男女的比例，再把患者分成男女两层，所以采用分层抽样方法更好．………………14分 18.解：（1）∵是等差数列，且，，设公差为。 ∴， 解得 ∴（） 在中，∵，当时，，∴ 当时，由及可得 ，∴， ∴是首项为1公比为2的等比数列， ∴（） ∴（） 19．解：（1）由△是等腰直角三角形，得c2＝2＝4, a2＝8 故椭圆方程为 ……5分 （2）①若直线的斜率存在，设方程为，依题意． 设，， 由 得 ． ……6分 则． ……7分 （3）由（2）知，当时有在恒成立， 且在上是减函数，，即在上恒成立， 令，则，即，从而， ……14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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