2015.04

本试卷共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题
卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

5. 临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 (参考公式：
，其中
)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．设
为虚数单位，则复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．双曲线
的离心率
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 独立性检验中，假设
：变量X与变量Y没有关系．则在
成立的情况下，
（可参照卷首独立性检验临界值表）表示的意义是（ ）

A．变量X与变量Y有关系的概率为1% B．变量X与变量Y有关系的概率为99%

变量X与变量Y没有关系的概率为99% D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%

4．在
中，若
，
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

5.运行如右图所示的程序框图，则输出的
的值是 ( )

A.120
B.105 C.15 D.5

6．设
且
则
的最小值是（ ）

A.
B.

C.
D.

7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)

　　　表1　　　　　　　 　 　　表2

　成绩

性别　

不及格

及格

总计



男

6

14

20



女

10

22

32



总计

16

36

52



　视力

性别　

好

差

总计



男

4

16

20



女

12

20

32



总计

16

36

52





　　　表3　　　　　 　　　　　表4

　智商

性别　

偏高

正常

总计



男

8

12

20



女

8

24

32




总计

16

36

52



　　阅读量

性别　

丰富

不丰

富

总计



男

14

6

20



女

2

30

32



总计

16

36

52





A．成绩　　B．视力　　C．智商　 D．阅读量

8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x（个）

2

3

4

5



加工的时间y（小时）

2.5

3

4

4.5



由表中数据算的线性回归方程
=bx+a中的b≈0.7，试预测加工10个零件需_________个小时。

A．9 B．8.5 C．8.05 D．8

9.若
满足约束条件
,则
的最小值为（ ）

A．20 B．22 C．24 D．28

10．曲线
（
）在横坐标为1的点的切线方程为（
）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题5分，共20分）

11. 已知命题
，
，则
是
.

12．复数
的模为__________.

13．函数
的最小值为 .

14．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱

锥的“直角面和斜面”.直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： .

三、解答题：本大题共6个小题，满分80分。

15．（本小题满分12分）

16．（本题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球


合计



男生



5





女生

10







合计





５０



已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

17．（本小题满分7+7=14分）

18．（本小题满分14分）

某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m2，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．

（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？

（2）怎样安排生产可使所得利润最大？

19．（本题满分14分）

已知函数
在
与
时，都取得极值．

（1）求
的值；

（2）若
，求
的单调区间和极值；

（3）若对
都有
恒成立，求
的取值范围．

20．（本小题满分14分） 设
、
是抛物线
上不同的两点，且该抛物线在
、
处的两条切线相交于点
，并且满足

（1）求证：
；

（2）判断抛物线
的准线与经过
三点的圆的位置关系，并说明理由.

南开实验学校2014-2015学年第二学期期初考试

高二文科数学（参考答案）

一、选择题：

1.D 2.A 3.B 4.B 5. C 6.C 7.D 8.C 9.B 10.A

二、填空题（每题5分，共20分）

11.

1
2．

13．

14．直角三棱锥中，三
个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方

三、解答题：本大题共6个小题，满分80分。

15．（本小题满分12分）

解:
---------------------------3分

(1) 由

---------------------------6分

(2) 由

---------------------------9分

(3) 由

---------------------------12分

16．（本题满分12分）

解：(1) 列联表补充如下：-----------------------------------------------------4分

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

２０

５

２５



女生

１０

１５

２５



合计

３０

２０

５０



（2）
------------------------8分

∵
------------------------10分

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关. ---------------------------------------12分

17．（本小题满分7+7=14分）

解:

------------------------2分

------------------------3分

------------------------5分

------------------------7分

------------------------14分

(其它解法酌情给分)

18．由题意可画表格如下：

方木料（m3）

五合板（m2）

利润（元）



书桌（个）

0.1

2

80



书橱（个）

0.2

1

120



…………………………………………………………………2分

（1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，

则 ∴ ∴x≤300. ………………………………………………………………4分

所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000（元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．……………………………………………………………………………………………………6分

（2）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．

则∴ 

z＝80x＋120y. …………………………………………………8分

在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．

…………………………………………10分

作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.

把直线
l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，

此时z＝80x＋120y取得最大值．………………………………………………………………………12分

由解得点M的坐标为（100,400）．

∴当x＝100，y＝400时，zmax＝80×100＋120×400＝56000（元）
．

因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．………………………………………14分

19．解:（1）
； ……………………………………5分

（2）f (x)的递增区间为（－∞，－
），及（1，＋∞），递减区间为（－
，1），………………8分

当x＝－
时，f
(x)有极大值，f (－
)＝
；

当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－
； ………………………………10分

（3）
或
． ………………………………14分

20．(1) 证明：由x2=4y得
，则
，

∴抛物线x2=4y在点A(x1，x2)、B(x2，y2)处的切线的斜率分别为
， …………2分

∵
，∴
， …………4分

∴抛物线x2=4y在点A(x1，x2)、B(x2，y2)处两切线互相垂直，

∴
，∴x1·x2=－4. …………………………6分

(2) 解法1: ∵
，∴
，

∴经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，

圆心D
， …………………………………8分

∵抛物线x2=4y的准线方程为y=－1, ∴点D
到直线

y=－1的距离为
， …………………………………10分

∵经过A、B、C三点的圆的半径
，

由于x12=4y1，x22=4y2，且x1·x2=－4，则
，

∴

，

即

， …………………………………… ……12分

∴d=r，∴抛物线x2=4y准线与经过A、B、C三点的圆相切. …………………………………………14分

解法2:由(1)知抛物线x2=4y在点A(x1，x2)处的切线的斜率为

又x12=4y1，∴切线AC所在直
线方程为
，

即
① ……8分

同理可得切线BC所在直线方程为
②

由①，②得点C的横坐标
，纵坐标yC=－1，即

……10分

∵
，∴
，

∴d=r，∴抛物线x2=4y准线与经过A、B、C三点的圆相切. ……14分