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| 简介：
2015.4 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项） 1.已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒 C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒 2.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 3.曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( ) A．45° B．60° C．135° D．120° 4.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3, 0]上的最大值、最小值分别是( ) A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 5.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如右图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图所示，阴影部分的面积是( ) A．2 B．2－ C. D. 7. 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为( ) A．2m3 B．3m3 C．4m3 D．5m3 8.是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 10.设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________. 11.函数y＝的极大值为______，极小值为______． 12.若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________． 13.点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________． 14.已知，，，则 三．解答题（解答请写出必要的文字说明、推理计算过程，只写结果不得分） 15.函数， ⑴求函数的单调区间和极值； ⑵若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围。 16.已知函数f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间. 17. 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表达式； (2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积； (3)若直线x＝－t(0 18.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2 (k≥0). (1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间. 19.设函数f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b≠0. (1)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； (2)求函数f(x)的极值点； (3)当b＝－1时，试证明对任意的正整数n，不等式ln>－都成立. 20. 已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围； （3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论） 南开实验学校2014-2015学年第二学期期初考试 高二理科数学参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C A C B D 二．填空题 9. 10 0 -1 11. 1 -1 12. 13. 14。 0 三．解答题 15. 解：⑴递减区间是， 递增区间是与； 当时，有极大值， 当时，有极小值-----------------------------8分 ⑵--------------------------------------12分 16. (1)a≤0------------------------------------------------------------6分 (2)f(x)的单调递增区间为，(3，＋∞)，单调递减区间为-----12分 17. 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)＝2ax＋b， 又已知f′(x)＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1.------ ---------------5分 (2)依题意，所求面积＝－1(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.------------10分 (3)依题意，有(x2＋2x＋1)dx＝－t(x2＋2x＋1)dx， ∴(x3＋x2＋x)|＝(x3＋x2＋x)|，－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t,2t3－6t2＋6t－1＝0， ∴2(t－1)3＝－1，于是t＝1－＝1－2－ --------------------------14分 18. 解：(1)3x－2y＋2ln 2－3＝0-------------------------------------6分 (2)当k＝0时，f(x)的单调递增区间为(－1，0)，单调递减区间为(0，＋∞)； 当0 当k＝1时，f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)； 当k>1时，f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为 ---------------------------------14分 19. (1)解 函数f(x)＝x2＋bln(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝2x＋＝， [1分] 令g(x)＝2x2＋2x＋b，则g(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以g(x)min＝g＝－＋b， [3分] 当b>时，g(x)min＝－＋b>0， 即g(x)＝2x2＋2x＋b>0在(－1，＋∞)上恒成立，所以f′(x)>0. 即当b>时，函数f(x)在定义域(－1，＋∞)上单调递增. [4分] (2)解 ①由(1)，知当b>时函数无极值点， [5分] ②当b＝时，f′(x)＝≥0，∴b＝时，函数在(－1，＋∞)上无极值点[7分] ③当b<时，解f′(x)＝0得两个不同解， x1＝，x2＝. 当b<0时，x1＝<－1，x2＝>0， ∴x1∈(－∞，－1)，x2∈(－1，＋∞)， 此时f(x)在(－1，＋∞)上有唯一的极小值点x2＝， 当0 f′(x)在(x1，x2)上小于0， 此时f(x)有一个极大值点x1＝和一个极小值点x2＝. [9分] 综上可知，当b<0时，f(x)在(－1，＋∞)上有唯一的极小值点x2＝； 当0 当b≥时，函数在(－1，＋∞)上无极值点. [10分] (3)证明 当b＝－1时，f(x)＝x2－ln(x＋1)， 令h(x)＝x3－f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)， 则h′(x)＝3x2－2x＋＝， 显然h′(x)在[0，＋∞)上恒为正， ∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 当x∈(0，＋∞)时，恒有h(x)>h(0)＝0， 即当x∈(0，＋∞)时，有x3－x2＋ln(x＋1)>0， 即ln(x＋1)>x2－x3， 所以对任意正整数n，取x＝，可得ln>－恒成立. 14分 20. 解：（Ⅰ）由，得 令，得或 因为 所以在区间[-2，1]上的最大值为-----------------4分 （Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点， 则，且切线斜率为 所以切线方程为 因此 整理得 设， 则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， 与的情况如下： 0 （0，1） 1 + 0 0 + 所以，是的极大值，是的极小值。 当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点。 当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点。 当，即时，因为，所以分别在区间[-1，0]，[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点。 综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是（-3，-1）。 ------------------------11分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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