考生注意：

1、试卷所有答案都必须写在答题卷上。

2、答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有12题，每题5分，共60分）

1. 已知椭圆
+
=1上的一点P到椭圆一焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（　　）

A．3 B．5 C．7 D．9

2. 一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（　　）

A．
B．
C．
D．

3．复数
所对应的点位于复平面内（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4. 用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（　　）

A．a，b都能被5整除 B．a，b不都能被5整除

C．a，b至少有一个能被5整除 D．a，b至多有一个能被5整除

5. 若点P（1，1）为圆（x-3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（　　）

A．2x+y-3=0 B．x-2y+1=0 C．x+2y-3=0 D．2x-y-1=0

6. 若a，b∈R，则
＞
成立的一个充分不必要的条件是（　　）

A．b＞a＞0 B．a＞b＞0 C．b＜a D．a＜b

7. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，5）与点（4，3）重合，则与点（-4，2）重合的是（　　）

A．（4，-2） B．（4，-3） C．(3，-
) D．（3，-1）

8. 若关于x的不等式 |2x-1|≥|1+a|-|2-a| 对任意实数a恒成立，则x的取值范围是（　　）

A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．[0，1] C．（-∞，-1]∪[2，+∞） D．[-1，2]

9. 函数y=x2+1+
(x＞0)的最小值是（　　）

A．
B．
C．3 D．4

10. 一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上第面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为（　　）

A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm

11. 已知f（x）=x3-3x，过点A（1，m）?（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-1，1） B．（-2，3） C．（-1，2） D．（-3，-2）

12. 已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（　　）条件

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题：（本大题共有4题，每题5分，共20分）

13．曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是

14．在实数范围内，不等式||x-2|-1|≤1的解集为

15．已知椭圆方程
+
=1（a＞b＞0），当a2+
的最小值时，椭圆的离心率e=

16. 如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是

三、解答题 （本大题共有6题，共70分）

17.（本题12分）已知直线l：3x+4y-2=0（Ⅰ）求经过直线l与直线x+3y-4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的内切圆的方程．

18.（本题12分）如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD

的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．

19.（本题12分）双曲线C与椭圆
+
=1有相同焦点，且经过点（4，
）．（1）求双曲线的方程；（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．

20.（本题12分）已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．

21.（本题12分）设函数f（x）=（ax2-2x）?ex，其中a≥0．（1）当a=
时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．

22. （本题10分）已知a，b＞0，且a+b=1，求： （Ⅰ）
+
的最小值；（Ⅱ）
+
+
的最小值．

CCBCDA ACDCDC 13．
14．[0，4] 15．
16．③④

18. （1）证明：连接AE，由AB=BE=1，得AE=
，

同理DE=
， ∴AE2+DE2=4=AD2，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．由PA=2， AB=1，BC=2，得NC=MN=
，MC=
，∴cos∠MNC=
=-
，∠MNC=
．

∴异面直线PD与AE所成的角的大小为
．

19. 解：（1）椭圆的焦点坐标为（-3，0），（3，0），设双曲线的方程为
-
=1，又因为双曲线过点（4，
），则
-
=1，即有a4-40a2+144=0，解得a2=4或a2=36（舍去），所以双曲线的方程为
-
=1；（2）由余弦定理：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|?cos60°=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|?|PF2|又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|-|PF2|）2+|=4a2=16，则|PF1|?|PF2|=20，则S△F1PF2=
|PF1|?|PF2|?sin60°=
×20×
=5
．

20. 解：（Ⅰ）f（x）=|2x+1|-|x-3|=
，如图，它与 y=4的交点为（-8，4）和（2，4）．不等式f（x）≤4的解集为[-8，2]．（Ⅱ）由f（x）的图象知，x=-
时，f（x）有最小值-
，存在x使得f（x）+a≤0成立，等价于-a≥-
，a≤
．故实数a的取值范围为（-∞，
）．21. 解：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]?ex①（I）若a=
时，由f′(x)=0，得2x2+x-3=0，解得x1=-
，x2=1，综合①，可知

x

(-∞，-
)

-

(-
，1)

1

（1，+∞）



f'（x）

+

0

-

0

+



f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗



所以，x1=-
是极大值点，x2=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）（II）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．?????????????????????（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；????????????????????（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
，即
，所以0＜a≤
．综合（1）（2）知a的取值范围是0≤a≤
．

22. 解：（Ⅰ）∵ab≤（
）2=
，当且仅当a=b时等号成立，∵a+b=1，a=b=
，∴
≥4．∵
+
≥
≥8，当且仅当a=b=
时等号成立，∴
+
≥8．（5分）（Ⅱ）∵
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=2（a+b）（
+
）=4+2（
+
）≥4+4
=8，当且仅当a=b=
时等号成立，∴
+
+
≥8．（10分）

11. 解；设切点坐标（x0，x03-3x），∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3∴曲线y=f（x）在（x0，x03-3x）处的切线斜率为3x02-3又∵切线过点A（1，m），

∴切线斜率为
，∴
=3x02-3，即2x03-3x02+m+3=0? ①∵过点A（1，m）?（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴方程①有3解．令ω（x0）=2x03-3x02+m+3，则ω（x0）图象与x轴有2个交点，

∴ω（x0）的极大值与极小值异号，ω′（x0）=6x02-6x0，令ω′（x0）=0，得x0=0或1∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0，-3＜m＜-2，故选D

12. 解：设A(x1，
)，B(x2，
)，由导数不难知道直线PA，PB的斜率分别为kPA=
x1，kPB=
x2．进一步得PA：y=
x1x-
.①PB：y=
x2x-
．②，由联立①②可得点P(
，
)，（1）因为P在l上，所以
=-1，所以kPA?kPB=
x1?
x2=
=-1，所以PA⊥PB；∴甲是乙的充分条件（2）若PA⊥PB，kPA?kPB=
x1?
x2=
=-1，即yp=-1，从而点P在l上．∴甲是乙的必要条件，故选C

15．解：a2+
≥a2+
=a2+
≥2
=16．当且仅当a-b=b，即a=2b时取等号．此时c=
=
b，∴e=
=

16. 解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=
，AB=2
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可，∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确