邢台二中2014—2015学年度第二学期高二年级二调考试数学试卷

一、选择题：本大题共16个小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.已知是虚数单位，复数
的虚部为（ ）

（A）1 (B)
(C) (D)

2.
除以9的余数是（ ）

A．8 B．4 C．2 D．1

3.某地四月份刮东风的概率是
，既刮东风又下雨的概率是
，则该地四月份刮东风的条件下，下雨的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.
的展开式中
的系数是（ ）

（A）
(B)
(C)
(D)

5.两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率为
”。根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（ ）

（A）21 (B) 35 (C) 42 (D) 70

6.若
是
的导函数，要得到
的图像，需将
的图像（ ）

（A）向左平移
个单位 (B) 向右平移
个单位

(C) 向左平移
个单位 (D) 向右平移
个单位

7.用数学归纳法证明
，从到
，左边需要增乘的代数式为（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

8．若随机变量η的分布列如下：





0

1

2

3





0.1

0.2

0.2

0.3

0.1

0.1





则当
时，实数x的取值范围是（　　）

Ａ．x≤1 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1x＜2

9.（1）已知
，求证
，用反证法证明时，可假设
，

（2）已知
，
，求证方程
的两根的绝对值都小于1．用反证

法证明时可假设方程有一根
的绝对值大于或等于1，即假设
，以下结论正确

的是（　　）

Ａ．
与
的假设都错误 Ｂ．
与
的假设都正确

Ｃ．
的假设正确；
的假设错误 Ｄ．
的假设错误；
的假设正确

10.某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定在同一个城市投资的项目不超过两个，则该企业不同的投资方案有（ ）

（A）204种 (B) 96种 (C) 240种 (D) 384种

11.已知
，且
（是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（　　）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

12.某射手有4发子弹，射击一次命中目标的概率为
，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，用
表示用的子弹数，则
等于（ ）

（A）
(B)
(C)
(D) 以上都不对

13.已知函数
的图像如图所示，
的导函数，则下

列数值排序正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

14.把座位编号为
的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至少分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ）

（A）240 (B) 144 (C) 196 (D) 288

15．如图，在梯形
中，
．若

，
到
与
的距离之比为
，则可推算出：

．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在

上面的梯形
中，延长梯形两腰
相交于点，设

，
的面积分别为
，
且
到
与

的距离之比为
，则
的面积
与
的关系是（　 ）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

16.正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列）

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

19. 用直线
和直线
将区域
分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若

干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数

的取值范围是
；

20.已知曲线
上一点
，则过曲线上
点的所有切线的方程中，斜率最小的切线方程是
；

21.已知
为一次函数，且
，则
=
；

22.若等差数列
的首项
，公差是
的展开式中的常数项，其中为
除以
的余数，则等差数列
的通项公式
 。

三、解答题：本大题共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

23.（本小题12分）已知数列
的通项
是二项式
与
的展开式中的所有的次数相同的各项系数之和，求数列
的通项及前项和
。

24．（本小题12分）甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．

(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？

(2)在（1）的条件下，设取出的3个球中红球的个数为
，求
的分布列。

25.（本小题12分）已知函数

（1）求函数
的单调区间：

（2）若
，求的取值范围。

26.（本小题14分）过曲线
上一点
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
，然后再过
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
，
，以此类推，过点
的切线
与轴相交于点
，再过点
作轴的垂线交曲线
于点
（
N
）．

(1) 求
及数列
的通项公式；

(2) 设曲线
与切线
及直线
所围成的图形面积为
，求
的表达式；

(3) 在满足(2)的条件下, 若数列
的前项和为
，求证：

。

选择题：

BABDA ABCDA CBBBC D

填空题：

19、
20、
21、
22、

三、解答题：

23、

24（1）甲在箱子里安排2个红球，2个白球

























（2）

25、（1）(Ⅰ)
的定义域为
.…………………1分

=
（
），

设
，只需讨论
在
上的符号.…………………2分

（1）若
，即
，由
过定点
，知
在
上恒正，故
，
在（0，+）上为增函数.…………………3分

（2）若
，当
时，即
时，知
（当
时，取“=”），故
，
在（0，+）上为增函数；……………………4分

当
时，由
得
，

当
或
时，
，即
，

当
时，
，即
．

则
在
上为减函数，在
，

上为增函数.………………5分

综上可得：当
时，函数
的单调增区间（0，+）;

当
时，函数
的单调增区间为
，
；

函数
的单调减区间为
.…………………6分

（Ⅱ）由条件可得
，

则当
时，
恒成立，………………8分

令
，则
…………………9分

方法一：令
，

则当
时，
，所以
在（0，+）上为减函数.

又
，

所以在（0，1）上，
；在（1，+）上，
．………10分

所以
在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.

所以
，所以
……………12分

方法二：当
时，

；

当
时，

．……………10分

所以
在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.

所以
，所以
………………12分

26、(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

(1) 解: 由
，设直线
的斜率为
，则
.

∴直线
的方程为
.令
，得
， ……2分

∴
， ∴
.∴
.

∴直线
的方程为
.令
，得
. ……4分

一般地，直线
的方程为
，

由于点
在直线
上，∴
.

∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列.∴
. ……6分

（2）解：

. ……8分

.

……10分

（3）证明：
，
.

要证明
，只要证明
，即只要证明
.

……11分

证法1：（数学归纳法）

当
时，显然
成立；

假设
时，
成立，

则当
时，
，

而
.

∴
.∴
.

这说明，
时，不等式也成立.

由①②知不等式
对一切
N
都成立. ……14分

证法2:

.

∴不等式
对一切
N
都成立. ……14分

证法3:令
,则
,

当
时,

,

∴函数
在
上单调递增.∴当
时,
.

∵
N
,∴
, 即
.

∴
.∴不等式
对一切
N
都成立