考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：翁平 审题人：王波

本试题卷共2页，三大题22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）

1．函数
的单调递减区间是( )

A.
B.
C.
D.

2．如图，函数
与
相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )

A.1 B. C. D.2

3．函数
在
处取到极值，则的值为( )

A. B.
C.0 D.

4．给出下面四个命题：

①“
”的充要条件是“平行于所在的平面”；

②“直线
平面内所有直线”的充要条件是“
平面”；

③“直线
为异面直线”的充分而不必要条件是“直线
不相交”；

④“平面//平面
”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到
的距离相等”．

其中正确命题的序号是（ ）

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

5．如图，空间四边形
中，
分别是
的中点，

则
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

6．正四棱柱
中,
,则
与平面
所成角的正弦值等于( )

A.
B.
C.
D.

7. 设
均是实数，下面使用类比推理，得出正确结论的是( )

A.“若
，则
”类推出“若
,则
”

B.“若
”类推出“
”

C. “
” 类推出“
”

D. “若
” 类推出“
（c0）”

8.如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第

(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列

规律,第100个图形由多少个点组成（ ）

A. 9900 B. 9901 C. 9902 D. 9903

9．设点是曲线：
（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）A．
B．
　 C．[0，
]∪
D．[0，
)∪

10.
是
的导函数，
的图象如右图所示，则
的图象只可能是（ ）

A． B． C． D．

11．如图，正方体
的棱长为，点
在棱
上，

且
，点是平面
上的动点，且动点到直线
的距

离与点到点
的距离的平方差为，则动点的轨迹是（ ）

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．)

13．定积分
.

14. 若
，则
.

15．在边长为的正三角形
中，
于，沿
折成二面角
后，
，这时二面角
的大小为 .

16. 设
．过点
且平行于轴的直线与曲线
的交点为
，曲线

过点
的切线交轴于点，则
的面积的最小值是 .

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17. （本题满分10分）已知函数

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）如果曲线
的某一切线与直线
垂直，求切点坐标与切线的方程。

18.（本题满分12分）直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，

∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

19．（本题满分12分）设函数

（1）若函数
在
时取得极小值，求
的值；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求
的取值范围。

20．（本题满分12分）某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量万件与促销费用万元满足
.已知万件该商品的进价成本为
万元，商品的销售价格定为
元/件.

（1）将该商品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
,平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
,
．

（I） 求证：平面
⊥平面
；

（II）若二面角
为30°，设
,?试确定的值。

22．（本题满分12分）已知函数

(1) 当
时，求函数
的极值;

(2) 讨论函数
的单调性;

(3) 设
若
对
恒成立, 求实数的取值范围.

高二数学（理）参考答案及评分标准

2015.4

18.（本题满分12分）直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，

∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

解： 由题知
，∠ACB＝90°，以
为原点，以

设AC＝BC＝AA′=a，

，

，
,所以CE⊥A′D；

（2）
，设异面直线CE与AC′所成角为
，

则有

19.（本题满分12分）设函数

（1）若函数
在
时取得极小值，求
的值；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求
的取值范围。

（1）
；--------------------------------5分

（2）
，------------------------------7分

由题知
或
--------------------------------8分

任意
，
恒成立，即
-------10分

所以
的取值范围是
-----------------------------------12分

20．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量万件与促销费用万元满足
.已知万件该商品的进价成本为
万元，商品的销售价格定为
元/件.

（1）将该商品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？

解：（1）由题意得
，…………………2分

将
代入化简得：
.…………………………6分

（2）

………………………………………………………9分

当且仅当
，即
时等号成立.…………11分

∴当促销费用投入
万元时，厂家的销售利润最大为
.

…………………12分

注：如果学生用求导的方式得到该结果，请根据学生的解答情况给分.

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形