南昌二中2014－2015学年度下学期第二次考试

高二数学（理）试卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）

1．已知集合M＝｛1，－2，3｝，N＝｛－4，5，6，－7｝，从这两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数是（ ）

A．10 B．14 C．16 D．18

2．已知自然数x满足
，则
（ ）

A．3 B．5 C．4 D．6

3．已知直线
，平面
、
、
，则下列条件中能推出
//
的是 （ ）

A．
，
，
B．

C．
D．

4．某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

5． 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ）

A.66 　　　 B.48 　　　 C.36 　　　 D.30

6． 某班组织文艺晚会，准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A,B两个节目至少有一个选中，且A,B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为 （ ）

A.1860 B.1320 C.1140 D.1020

7．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　 　)

A．16 B．10 C．4 D．2

8．若，P是正四面体V－ABC的侧面VBC上一点，点P到平面ABC的距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹为 （ ）

A．一条线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

9．已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是 （ ）

A．
B．1 C．
D．

10．△ABC的AB边在平面
内，C在平面
外，AC和BC分别在与平面
成30
和45
的角，且平面ABC与平面
成60
的二面角，那么
的值为（ ）

A．1 B．
C．
D．1或

11．在100，101，…，999这些数中，各位数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数是 （ ）

A．120 B．168 C．204 D．216

12．连续抛掷骰子，记下每次面朝上的点数，若出现三个不同的数就停止，问抛掷5次停止时，会出现不同的结果种数位 （ ）

A．420 B．840 C．720 D．640

二、填空题

13．
。

14．将6本完全相同的数学书与5本不同的英语书放在书架同一层排成一排，则仅有2本数学书相邻且这2本数学书不放在两端的放法的种数为 （用数字回答）

15．若
，

且


，则
.

16．已知SA、SB、SC两两所成的角为60
，则平面SAB与平面SAC所成二面角的余弦值为 。

三、解答题

17．(10分)解下列方程：

18．（12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球。

（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一只红球记2分，取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种?

（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？

19．（12分）已知
展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大
.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

20．（12分）如图，
是边长为
的等边三角形，
现将
沿边CD折起至PCD得四棱锥P-ABCD, 且PC
BC

（1）证明：BD
平面PAC；

（2）求四棱锥P-ABCD的体积.

21．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，
是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上.

（1）求证：DE//平面ABC；

（2）求二面角
的余弦值.

22．（12分）设函数
，曲线
处的切线斜率为0.

（1）求b;

（2）若存在
使得
，求a的取值范围。

南昌二中2014－2015学年度下学期第二次月考

高二数学（理）试卷参考答案

一．选择题：BCCAD CBBAD CB

二．填空题

13．
=1139； 14．
； 15．
； 16．
。

三．解答题

17．解：
得

18．解：（1）
种

（2）总分不小于7分的取法必需红球至少有2个红球，所以方法数为

种

（3）
种。

19．解 由题意，

，

（1）展开式中二项式系数最大的项是
，
；

（2）由
解得
为所求的系数最大的项。

20．（1）证明：连接AC交BD于点O

在
中，BC=
，

则
=6即
=
由正弦定理得
，即
=
,从而
=

同理可得

,所以
即BD
AC,又PC
DB,且PC
AC=C；

故BD
平面PAC

（2）取CD中点E，连接OE,PE

因为PD=PC,所以CD
PE,而AC=BD,AO=BO,则OC=OD,所以CD
OE,所以

CD
面POE,从而OP
CD,由（1）知OP
BD,而BD
CD=D,故OP
面ABCD

即棱锥P-ABCD的高为OP，在Rt
中，OP=

=
，
=
=3

21．解析：（1）证明：由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，

连接
则
，
，

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点
落在
上，

∴
，易求得
，

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
6分

（2）建立如图所示的空间直角坐标系
，

可知平面
的一个法向量为
，
，
，
，

设平面
的一个法向量为
，则，
可求得
． 所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角
的余弦值为
．

22.解：（I）
，由题设知
,解得b ?1.

(Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??+∞),由(Ⅰ)知,
，

(i)若
，则
，故当x?(1,?? +∞)时, f '(x) >?0 , f (x)在(1,?? +∞)上单调递增.

所以,存在
=1, 使得
的充要条件为
，即
得

(ii)若
，则
，故当x∈(1,
)时, f '(x)

所以,存在

1, 使得
的充要条件为
，而

，所以不合题意.

(ⅲ) 若
，则
。

综上，a的取值范围为：

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