2014-2015学年下期高二适应性考试

理科数学

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
，则集合
中的子集个数为

A． 2 B．4 C．8 D．16

2. 以下有关命题的说法错误的是

A．命题“若
则x=1”的逆否命题为“若
”

B．“
”是“”
的充分不必要条件

C．若
为假命题，则p、q均为假命题

D．对于命题

3. 已知函数
的定点在函数
的图像上，则是
的值为

A．
B．0 C．1 D．2

4. 已知实数
满足不等式
，且
则
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

5.下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是

A．
B．

C．
D．

6. 某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的

y值是

A．﹣1 B.0.5 C．2 D．10

7. 已知函数
的图象如图 (其中
是函数
的导函数),下面四个图象中,
的图象可能是B

（第7题图） A． B． C． D．

8. 已知函数
，且
，则

A．
B．
C．
D．

9.若奇函数
对于任意的
都有
，则不等式

的解集为

A．
B．
C．
D．

10．已知过点
恰能作曲线
的两条切线，则
的值是

A．
B．
C．
D．
或

11.已知函数f(x)＝logax＋x－b（其中2

A．4 B．3 C．2 D．1

12.已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，其中
，若方程
有3个不同的实数根，则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．函数f(x)＝
＋的定义域为 .

14．若二次函数y＝
－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是__________．

15．已知定义在R上的奇函数
，满足
,且当
时
，若方程
在区间
上有四个不同的根
,则

16．已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③＞；④＜.其中正确结论的序号是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分10分)

设f(x)＝，其中a为正实数．

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

18．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝a
＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)若f(x)有极大值28，求f(x)在上的最小值．

19．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x(a<0)．

(I)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(Ⅱ)若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

20．(本小题满分12分)

已知函数

（I)当
时，讨论
的单调性；

(Ⅱ)设
当
时，若对任意
，存在
，使
，求实数n

的取值范围．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=ex+2x2—3x

(I)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ) 当x ≥1时，若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)求证函数f(x)在区间

理科数学参考答案

1—5BCBAB 6—10ABAAD11—12 CB

13. (－1,0)∪(0,2] 14. (－∞，2]∪[3，＋∞) 15. -8 16. ②③　

17．【解】对f(x)求导得f′(x)＝

ex.①

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，

则4x2－8x＋3＝0，

解得x1＝，x2＝.结合①，可知

x













f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

�瑷J

极大值

↘��

极小值

↗��



所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

所以a的取值范围为{a|0

18. (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

故有即化简得解得a＝1，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在上的最小值为f(2)＝－4.

19．(1)∵f(x)＝lnx－ax2－2x，∴f ′(x)＝－(x＞0)．

依题意f ′(x)≥0在x＞0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x＞0时恒成立．

则a≤＝(－1)2－1在x＞0时恒成立，即a≤((－1)2－1)min(x＞0)，当x＝1时，(－1)2－1取得最小值－1，∴a的取值范围是(－∞，－1]．

(2)a＝－时，方程f(x)＝－x＋b化为，∴x2－x＋lnx－b＝0.设g(x)＝x2－x＋lnx－b(x>0)，

则g′(x)＝，列表如下：

x

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,4)



g′(x)

＋

0

－

0

＋



g(x)

↗

极大值

�绋K

极小值

�瑷J



∴g(x)的极小值为g(2)＝ln2－b－2，g(x)的极大值为g(1)＝－b－，又g(4)＝2ln2－b－2，

∵方程g(x)＝0在上恰有两个不相等的实数根．则得ln2－2＜b≤－.

20.（1）
令
，

当
时，
，

令
令

在
是减函数，
在
是增函数；

当
时，
，

当
时，
，
在
是减函数，
在
是增函数；

当
时，
，
在
，
是减函数，
在
是增函数；

综上可知：当
时，
在
是减函数，
在
是增函数；

当
时，
在
，
是减函数，
在
是增函数……… 8分

(2)当
时，
在
是减函数，在
上是增函数，对任意
，有
又已知存在
，使
，所以
，即存在
，使
，

，即
. ……… 12分

21.

.

Ⅲ）∵f'(0)=e0-3=-2<0,f'(1)=e+1>0， ∴f'(0)·f'(1)<0 令h(x)=f'(x)=ex+4x-3，

则h'(x)=ex+4>0，f'(x)在正上单调递增，

∴．f'(x)在上存在唯一零点，f (x)在上存在唯一的极值点．

取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下

由上表可知区间的长度为0.3,所以该区间的中点x2=0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值∴函数y=f(x)取得极值时，相应x≈0.45.

22. （Ⅰ）
,

曲线
在点
处的切线方程为
.

（Ⅱ）由
，得
，

若
，则当
时，
，函数
单调递减，

当
时，
，函数
单调递增，

若
，则当
时，
，函数
单调递增，

当
时，
，函数
单调递减，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若
，则当且仅当
，

即
时，函数

内单调递增，

若
，则当且仅当
，

即
时，函数

内单调递增，

综上可知，函数

内单调递增时，
的取值范围是
.

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