高二第二学期第三次月考

数学试题

一、选择题：

1.复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知命题
:对任意
，总有
，
:“
”是“
”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．如图所示,程序框图的输出结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )

A．
B．
C.
D．

5．设抛物线
的焦点为
，准线为
，
为抛物线上一点,
,
为垂足，若直线
斜率为
,那么
( )

A．
B．
C．
D．

6．已知等比数列
的第
项是二项式
展开式的常数项，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段
上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（ ）

A.
B.

C.
D.

8.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差
、
、
的大小关系是( )

A.
B.
C
D.

9.曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．要分配甲、乙、丙、丁、戊
名同学去参加三项不同的教学活动,其中活动一和活动二各要
人,活动三要
人,每人只能参加一项活动，且甲,乙两人不能参加同一活动,则不同的分配方法有（ ）种

A．
B．
C．
D．

11．过曲线

的左焦点
作曲线
的切线，切点为
，延长
交曲线
于点
，其中
、
有一个共同的焦点，若
，则曲线
的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

12.设函数
，则函数
的零点的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：

13. 根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7



y

4.0

2.5


0.5

0.5


2.0



得到的回归方程为
.若
,则
的值为

14．设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆
内的概率为___________．

15.设
为实常数,
是定义在
上的奇函数,当
时,
,若
对一切
成立,则
的取值范围为 .

16． 在实数集
中，我们定义的大小关系“
”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“
”：已知
和
，
，当且仅当“
”或“
且
”.定义两点的“
”与“
”运算如下：

. 则下面四个命题：

①已知
和
，则
；

②已知
和
，若
，则
，且
；

③已知
，
，则
；

④已知
，则对任意的点
，都有
；

⑤已知
，则对任意的点
，都有
.

其中真命题的序号为 （把真命题的序号全部写出）

三、解答题：

17.（本小题满分12分） 在
中，
的对边分别是
，

已知
.

（1）求
的值；

(2)若
，求边
的值．

18.（本小题满分12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.

(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记
表示两人中成绩不合格的人数，求
的分布列及数学期望；

19. （本小题满分12分） 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝
．

（Ⅰ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；

（Ⅱ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

20. （本小题满分12分）已知椭圆

的离心率为
，定点
，椭圆短轴的端点是
，
，且
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过点
且斜率不为
的直线交椭圆
于
，
两点.试问
轴上是否存在定点
，使
内切圆圆心的纵坐标为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）若函数
在
上是增函数，求正实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，
且
，设
,求函数
在
上的最大值和最小值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点
，经过点
的割线
交圆
于点
，
的平分线分别交
于点
．

（1）证明：
;

（2）若
,求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，
为极点，已知圆
的圆心为
，半径r=1，P在圆
上运动。

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若关于
的不等式
的解集是
，求
的取值范围．

高二数学第三次月考答案

ADCDB DBCBA DC

13.
14.
15.
16.①③④

18. 解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　

∴此次测试总人数为
(人).

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．

(2)
=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
,∴
～
.

，
，

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

所求分布列为

X

0

1

2



P











19.解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则
,
,
做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且
，

又


，

所以
的坐标为

设平面BCE的法向量为
则

（Ⅱ）

20.

（Ⅱ）解：设
，
，直线
的方程为
. 将直线
的方程与椭圆
的方程联立，消去
得
.

所以
，
.

若
的内切圆圆心纵坐标为定值，则该定值必为
，即
平分
，

直线
，
的倾斜角互补，

. 设
，则有
.将
，
代入上式，整理得
，

所以
.将
，
代入上式，

整理得
. 由于上式对任意实数
都成立，所以
.

综上，存在定点
，使
平分
.即
的内切圆圆心纵坐标为定值0

21． (Ⅰ)解:由题设可得

因为函数
在
上是增函数，

所以,当
时，不等式
即
恒成立

因为,当
时，
的最大值为
，则实数
的取值范围是

(Ⅱ) 解:
，

所以,
，若
,则
，在
上, 恒有
，

所以
在
上单调递减

，

综上所述：当
时，
，
；当

且
时，
，
.

22． 解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴ ∠BAP=∠C，

又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED．

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA, ∴
,

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=
×90°=30°．

在Rt△ABC中，
=
, ∴
=
． 1

23 解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为
，由余弦定理得

所以圆的极坐标方程为

（Ⅱ）设
则
，
在圆上，则
的直角坐标方程为

24解：（1）由题设知：
，

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或
，或

解得函数
的定义域为
；

（2）不等式
即
，

时，恒有
，

不等式
解集是R，

的取值范围是

∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED．

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA, ∴
,

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠B