季延中学2014-2015学年高二年下学期期中考试文科数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1、复数i﹣1(i是虚数单位)的虚部是( )

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

2、某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为( )

A．程序流程图 B．工序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图

3、点
，则它的极坐标是( )

A．
B．
C．
D．

4、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是( )

A．
=1.23x+4 B．
=1.23x﹣0.08

C．
=1.23x+0.8 D．
=1.23x+0.08

5、已知点M的球坐标为
，则它的直角坐标为( )

A．
B．
C．
D．

6、对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：①
；

②
不能同时成立，

下列说法正确的是( )

A．①对②错 B．①错②对 C．①对②对 D．①错②错

7、某程序框图如图，该程序运行输出的值是( )

A．4 B．5

C．6 D．7

8、下列正确的是( )

A．类比推理是由特殊到一般的推理

B．演绎推理是由特殊到一般的推理

C．归纳推理是由个别到一般的推理

D．合情推理可以作为证明的步骤

9、用反证法证明命题：“若a，
，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　 )

A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除

C．a，b有一个能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除

10、在复平面内，复数
对应的点位于( )

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

11、设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则
，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于( )

A．
B．

C．
D．

12、将
个正整数1、2、3、 、
（
）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a、b（a>b）的比值
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )

A．3 B．2 C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13、在极坐标系中，直线l的方程为
，则点
到直线l的距离为

14、在复平面内，记复数
对应的向量为
，若向量
绕坐标原点逆时针旋转
?得到新向量
所对应的复数为_____________

15、在极坐标系中，曲线
和
的方程分别为
和
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线
和
交点的直角坐标为_____________

16、已知
是复数，且
，则
的最大值为?????????????

三、解答题：共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17、(本小题12分)已知复数
．

(1) 求z的共轭复数
； (2) 若
，求实数
，
的值．

18、(本小题12分)在直角坐标系
中，以
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，M、N分别为曲线C与x轴，y轴的交点。

(1) 写出曲线C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

(2) 设MN中点为P，求直线OP的极坐标方程。

19、(本小题12分)已知
是复数，若
为实数（i为虚数单位），且
为纯虚数．(1)求复数
；

(2)若复数
在复平面对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

20、(本小题12分)已知{an}是各项为不同正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又
，n＝1,2,3，….

(1)证明：{bn}为等比数列；

(2)如果数列{bn}前3项的和等于，求数列{an}的首项a1和公差d.

21、(本小题12分)传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

非体育迷

体育迷

合计



男









女









合计









将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 附：

















































22、(本小题14分)已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列(
).

(1)若
，求
；

(2)试写出
关于
的关系式，并求
的取值范围；

(3)续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

参考答案

1～5：ADCDB 6～10：ADCBD 11～12：DC

13： 3 14： 2i 15: (1,2) 16: 6

17、解：（1）
………………4分

……………………………………………………6分

（2）由
得(a+b)+ai=1-i…………………………7分

所以：
，故
…………………………………12分

18、解：（1）由
得

∴
，即

令
得
，即
，∴M的极坐标为

令
得
，即
，

∴N的极坐标为
…………………………………………6分

(2)由(1)易知
，所以直线OP的斜率为

直线OP的直角坐标方程为：

∴
，故

∴
或

∴直线OP极坐标方程为
…………………………12分

19、（1）设
，∴
，

∴
即：

∴
………………………………………………………………6分

(2)

依题可知
∴m<-6………………………………12分

20、解：(1)∵lga1、lga2、lga4成等差数列，

∴2lga2＝lga1＋lga4，即a＝a1·a4.

设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，得d2＝a1d，从而d(d－a1)＝0，

∵d≠0，∴a1＝d≠0

∴a2n＝a1＋d＝2n·d.

bn＝＝·

∴{bn}是以b1＝为首项，公比为的等比数列．

(2)∵b1＋b2＋b3＝＝

∴d＝3，∴a1＝d＝3.

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



女

40

10

55



合计

75

25

100



21、解：（1）由频率分布直方图可知，

体育迷人数为：

（0.02+0.005）×10×100=25(人)

所以男生体育迷人数为：

25-10=15人

∴2×2列联表如右图。

∴随机变量值

∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下，

不能认为“体育迷”与性别有关……………………………………………6分

（2）超级体育迷的人数为0.005×10×100=5人

∴其中男性有3人分别记为a,b,c，女生有2人分别记为d,e

5选2的一种结果记为（x，y）则所有的基本事件有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，

(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种

记至少有一名女生为事件A，则其包含的基本事件有：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，

(c,d)，(c,e)，(d,e)，共7种。

∴

答：至少有1名女性观众的概率为
…………………………………12分

22、解：（1）
.………………………3分

（2）
，

，

当
时，
. ………………………8分

（3）所给数列可推广为无穷数列
，其中
是首项为1，公差为1的

等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列.

研究的问题可以是：

试写出
关于
的关系式，并求
的取值范围.

研究的结论可以是：由
，

依次类推可得

当
时，
的取值范围为
等………………………………14分

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