满分150分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合
，则

A
．
B．
C．
D．

2．已知0

A．1

3．已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则

A．27 B．3 C．
或3 D．1或27

4．设
是
所在平面内的一点，
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

5．已知函数

的图象恒过点
，角
的终边过点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
，
是两条不同直线
，

，
是两个不同平面，给出四个命题：

①若
，
，
，则
；②若
，
，则
；

③若
，
，
，则
；④若
，
，
，则
．

其中正确的命题是（ ）

A．①② B．②③ C．①④
D．②④

7．已知等比数列
的公比
，其前
项和
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8．下图是函数
在一个周期内的图象，此函数的解析式可为（ ）

A．
B．

C．
D．

9． 若
，
满足约束条件
，则目标函数
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．与圆
：
，
：
都相切的直线有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

11．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知直线
过点
和点
，则直线
的斜率的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．

13．已知函数
　，则不等式
的解集是　　 　。

14．已知数列
中，
，

，则数列
的通项公式是

15．在
中，角
所对的边
分别为
，若
，
，则

16．给出下列命题：

①若
，
，则
；

②若已知直线
与函数
，
的图像分别交于点
，
，则
的最大值为
；

③若数列

为单调递增数列，则
取值范围是
；

④若直线
的斜率
，则直线
的倾斜角
；

其中真命题的序号是：_________．

三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

17．（本题10分）已知向量
，
，且
，其中
、
、
是
的内角，
分别是角
，
，
的对边．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求
的最大值.

18．（本题12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组
，
，…，
后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．

（Ⅰ）求分数在
内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为

的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段
的概率．

19．（本题12分）在三棱锥
中，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，
，当三棱锥
的体积最大时，求
的长．

20．（本题12分）已知
为锐角，且
，函数
，数列
的首项
.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
.

21．（本题12分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本
(万元)与年产量
(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为
，已知此生产线年产量最大为
吨．

（Ⅰ）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（Ⅱ）若每吨产品平均出厂价为
万元，那么当年产量为多少吨
时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

22．（本题12分）已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的定义域，并判断函数
的奇偶性；

（Ⅱ）对于
，
恒成立，求实数
的取值范围．

2014-2015学年度山东省枣庄市枣庄二中第一学期高
二期末考试

数学理试题参考答案

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．

13．【答案】

【解析】∵
，若
，则

若
，则

∴ 不等
的解集是
．

14．【答案】

【解析】由

得：

，∴

15．【答案】

【解析】依题意，
，代入
由余弦定理
，∵
， ∴
．

16．【答案】①②

【解析】对于①,因为
，
，则
，所以
成立；

对于②，
，故②正确；

对于③，
恒成立
，故③不正确；

对于④，由倾斜角
，故④不成立，故正确的有①②．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

17．【解析】（Ⅰ）由
得
（2分）

由余弦定理
（4分）

又
，则
（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，则
（6分）

∴
∴
（8分）

∴

即
最大值
（10分）

18．【解析】（Ⅰ）分数在
内的频率为：

（5分）

（Ⅱ）由题意，
分数段内的人数为
人；
分数段内的人数为
人， （6分）

用分层抽样的方法在分数段
的学生中抽取一个容量为
的样
本，需在
分数段内抽取
人，并记为
；在
分数段内抽取
人，并记为
；（9分）

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段
内”为事件
，则基本事件共有：

，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
共
个；其中至多有1人在分数段
内的基本事件数有：
，
，
，
，
，
，
，
，
共
个；

∴
（12分）

19．【解析】（Ⅰ）证明：∵

∴
，
（1分）

∵
，

∴
（2分）

∵
，∴
（3分）

∵
，∴
，∴
， （5分）

∵
，∴平面
平面
； （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∵
，
， （7分）

设

，则
（8分）

（9分）

∴
（10分）

当且仅当
即
时取等号； （11分）

∴当三棱锥
的体积最大
时，
的长
为
． （12分）

20．【解析】（Ⅰ）
又∵
为锐角

∴
∴

（5分）

（Ⅱ）∵
∴

∵
∴
数列
是以2为首项，2为公比的等比数列。

可得
，∴
（9分）

所以，

下面先求
的前
项和

（10分）

两式相减，得

（11分）

（12分）

21．【解析】（Ⅰ）每吨平均成本为
（万元） （1分）

则
（4分）

当且仅当
，即
时取等号 （5分）

∴年产量为
吨时，每吨平均成本最低为
万元 （6分）

（Ⅱ）设年获利润为
万元

（7分）

则

（10分）

∵
在
上是增函数．

∴当
时，
有最大值

∴年产量为
吨时，可以获得最大利润
万元． （12分）