2014-2015学年度第一学期高二期末检测

文科数学答案

一．选择题：BBDAB CDACB

二．填空题

11.
12.
13.
14.
15.

三．解答题

16.解： 若为真，则
； ………2分

若为真，则
，所以
. ………5分

若真假，则
； ………8分

若假真，则
， ………11分

综上，
或
. ………12分

17.解： 由
，得
， ………2分

因为
是
的必要条件，所以是的充分条件，…………5分

所以不等式
对
恒成立，

所以
对
恒成立. ……………9分

因为
，当且仅当
时等号成立，所以
. ……12分

18.解：（1）依题意，
，解得
， ………2分

由已知可设
，

因为
，所以
，

则
，
． ………5分















+



-



+





递增

极大值

递减

极小值

递增



列表：

由上表可知
在
处取得极大值为
，

在
处取得极小值为
． ………………8分

（2）当
时，直线
斜率
，

因为
，所以
，则
，

即直线
斜率的最小值为4． ………12分

19.解：(1)建立如图的直角坐标系，则
，

设椭圆方程为
.

将
与点代入方程，得

，
，所以隧道的拱宽为
. ………5分

(2) 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，只需半椭圆面积最小即可.

由
，得
.

因为
，即
，

所以半椭圆面积
，

当
最小时，有
，得
，
， ………10分

此时
，
，

隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. ………………12分

20. 解：（1）设椭圆
的方程为

，半焦距为.

依题意
，解得
，
，所以
.

所以椭圆
的标准方程是
. ……………4分

（2）不存在实数，使
. ……………5分

证明如下：

把
代入椭圆C:
中，

整理得
. ……………7分

由于直线
恒过椭圆内定点
，所以判别式
.

设
，则
，
. ……9分

依题意，若
，平方得
.

即
,

整理得
，

所以


，整理得
，矛盾．

所以不存在实数，使
. …………13分

21.解:（1）
定义域为
， …………1分

，

，
, ………3分

函数
在
处的切线方程为：

，即
. ……5分

（2）令
，得
，

当
时，
，
在
上为增函数，

当
时，
，在
上为减函数， ………7分

. ……………8分

（3）
，由（2）知：

在
上单调递增，在
上单调递减，

在
上的最小值
. ……10分

， …………11分

当
时，
，

，

当
时，
，

. ………14分

一．选择题：BBDAB CDACB

二．填空题

11.
12.
13.
14.
15.

三．解答题

16.解： 若为真，则
； ………2分

若为真，则
，所以
. ………5分

若真假，则
； ………8分

若假真，则
， ………11分

综上，
或
. ………12分

17.解： 由
，得
， ………2分

因为
是
的必要条件，所以是的充分条件，…………5分

所以不等式
对
恒成立，

所以
对
恒成立. ……………9分

因为
，当且仅当
时等号成立，所以
. ……12分

18.解：（1）依题意，
，解得
， ………2分

由已知可设
，

因为
，所以
，

则
，
． ………5分















+



-



+





递增

极大值

递减

极小值

递增



列表：

由上表可知
在
处取得极大值为
，

在
处取得极小值为
． ………………8分

（2）当
时，直线
斜率
，

因为
，所以
，则
，

即直线
斜率的最小值为4． ………12分

19.解：(1)建立如图的直角坐标系，则
，

设椭圆方程为
.

将
与点代入方程，得

，
，所以隧道的拱宽为
. ………5分

(2) 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，只需半椭圆面积最小即可.

由
，得
.

因为
，即
，

所以半椭圆面积
，

当
最小时，有
，得
，
， ………10分

此时
，
，

隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. ………………12分

20. 解：（1）设椭圆
的方程为

，半焦距为.

依题意
，解得
，
，所以
.

所以椭圆
的标准方程是
. ……………4分

（2）不存在实数，使
. ……………5分

证明如下：

把
代入椭圆C:
中，

整理得
. ……………7分

由于直线
恒过椭圆内定点
，所以判别式
.

设
，则
，
. ……9分

依题意，若
，平方得
.

即
,

整理得
，

所以


，整理得
，矛盾．

所以不存在实数，使
. …………13分

21.解:（1）
定义域为
， …………1分

，

，
, ………3分

函数
在
处的切线方程为：

，即
. ……5分

（2）令
，得
，

当
时，
，
在
上为增函数，

当
时，
，在
上为减函数， ………7分

. ……………8分

（3）
，由（2）知：

在
上单调递增，在
上单调递减，

在
上的最小值
. ……10分

， …………11分

当
时，
，

，

当
时，
，

. ………14分