高二理科参考答案及评分标准

选择题

D A C D A C B B D B

填空题

11. 6 12.
13.
14.
15. ②③④

解答题

16.解:当命题为真时，
，解得：
； …………………3分

当命题为真时，（1）当
时，
或
，经检验
时，函数
有唯一的零点
满足题意， …………………5分

（2）当
时，只需
，即
，解得：
或
；所以命题为真时，
或
…………………7分

要使p或q为真，p且q为假，只需
一真一假，当p真q假时，
，解得
， …………………9分

当p假q真时，
，解得：
或
， …………11分

综上所述，a的取值范围是
，
或
. …………12分

17. 解：设点
的坐标为
，由已知可得，

直线
的斜率
； …………………………1分

直线
的斜率
； …………………………2分

因为
，所以
，

又
整理可得，
； …………………………4分

当
时，点
的轨迹是焦点在轴的椭圆，除两点
； ……6分

当
时，点
的轨迹是圆
，并除去两点
； ………8分

当
时，点
的轨迹是焦点在轴的椭圆，除两点
； …10分

当
时，点
的轨迹是焦点在轴的双曲线，除两点
. ………12分

18. 解：（1）解法一：连接
，取
中点
，连接
、
，

因为
分别为
的中点，所以


，所以

就是所求， ………………1分

在
中，
，由余弦定理可得，
， ………………3分

所以异面直线
和
所成角的余弦值为
. ………………4分

解法二：如图建立空间直角坐标系
，不妨设
，则
，则
，

，
，
，

可得
， ………………2分

所以
，

即异面直线
和
所成角的余弦值为
. ………………4分

（2）由（1）可得，
，不妨设
为平面SBC

的一个法向量，

则有
，即
，不妨令
，可得
， ………………7分

所以
，所以直线
和平面
所成角的正弦值为
. ………………9分

（3）由题意可知，
为平面
的一个法向量， ………………10分

而
，

所以面
和面
所成二面角的余弦值为
. ………………12分

19. 解：（1）由题意可得
，?????????????

所以
，即
，???????? …………………………3分

即
，即动点的轨迹
的方程为
?， ………………4分

（2）由题意可知，直线
的斜率存在，可设直线
的方程为
，并设
，则
.

由
，消整理得
，???? …………………………5分

则
，即
.???????? ?? …………………………6分

.????????????? …………………………8分

直线
，

…………………………11分

?将
代入上式可得

即

所以，直线
恒过定点
.????? …………………………12分

20. 解：（1）
，…………………………2分

有题意可知，
，且三向量的夹角均为
，

所以
； ………………………4分

故

所以
…………………………6分

（2）假设存在点
使得
平面
，不妨设

， …………………………7分

而
，

所以
， ……………9分

要使
平面
，只需

，

即
，所以
，

代入数值并解得，
， ……………12分

即
，

所以存在点
当
时，
平面
. ……………13分

21. 解：（1）设椭圆方程为
，由题意可知
，

又因为
，所以
，即
， …………2分

所以
，故椭圆的方程为
. ………………4分

（2）因为对角线
互相垂直，所以直线
中至少有一条斜率存在，不妨设
的斜率为
，又
过点
,故
的方程为
，将此式代入椭圆方程可得，
，

设
，则
， ………5分

从而

， ………7分

当
时，
的斜率为
，同上可得
，

故四边形
的面积
， ………10分

令
，当且仅当
时，
，

此时
，显然
是以为自变量的增函数，

所以
； ………12分

当
时，
,此时
，

综上所述，四边形
面积的最大值为2，最小值为
. ………14分