2013-2014年（上）高三第三次考试

理科数学

命题人：张明印 审题人：姚 鑫 2013年10月

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(滚动单独考查)设全集U是实数集R,M={x|x2>4},

N={1

(A){x|-2≤x<1} (B){x|-2≤x≤2}

(C){x|1

2.(滚动交汇考查)以下说法错误的是(　　)

(A)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”

(B)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

(C)若p∧q为假命题,则p,q均为假命题

(D)若命题p:?x0∈R,使得
+x0+1<0,则﹁p:?x∈R,则x2+x+1≥0

3.复数
的共轭复数为　(　　)

4.(滚动单独考查)设函数
则满足f(x)≤2的x的取值范围是

(A)[-1，2] (B)[0，2] (C)[1，+∞) (D)[0，+∞)

5.(2013·哈尔滨模拟)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点(E为靠近点C的三等分点),则
等于(　　)

6.函数y=sin(2x-
)在区间[-
,π]上的简图是(　　)

设函数f(x)定义在实数集R上，f(2-x)=f(x),且当x≥1时，f(x)=lnx,则有

A.
B.
C.
D.

8.△ABC中,A=
,BC=3,则△ABC的周长为　(　　)

(A)4
sin (B+
)+3 (B)4
sin(B+
)+3

(C)6sin(B+
)+3 (D)6sin(B+
)+3

9.设函数
，
则
的值域是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为( )

(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2

11.已知
点C在∠AOB外且
设实数m,n满足
则
等于　(　　)

(A)-2 (B)2 (C)
(D)-

12.设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a>0,b>0,若f(x)≤|f(
)|对一切x∈R恒成立,则

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调递增区间是
(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.以上结论正确的是　(　　)

(A)①②④ (B)①③ (C)①③④ (D)①②④⑤

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)，其中0<α<β<π，若|2a+b|=|a-2b|，则β-α=　　　. sj.fjjy.org

14.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=
，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于　　　.

15.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,f(2-x)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=(
)x-1.若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是　　　.

16.设函数
，对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知向量a=(
,-1),b=(sin2x,cos2x),函数f(x)=a·b.

(1)若f(x)=0且0

(2)求函数f(x)的单调增区间以及函数取得最大值时,向量a与b的夹角.

18.(12分)已知函数
(
)=ln(1+
)-
+
， (
≥0).

(1)当
=2时，求曲线
=
(
)在点(1，
(1))处的切线方程；

(2)求
(
)的单调区间.

19.(12分)已知函数

(1)当x∈
时，求函数f(x)的最小值和最大值.

(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且c=
f(C)=0，若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线，求a,b的值．

20.（12分）已知数列{an}的前n项和
（其中
）,且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k，求an.

（2）求数列
的前n项和Tn.

21.(12分)已知点A(-2,0)，B(2，0)，直线PA与直线PB的斜率之积为
记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)设M，N是曲线C上任意两点，且
问是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

22.(12分)设
，
．

（1）当
时，求曲线
在
处的切线的斜率；

（2）如果存在
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；

（3）如果对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．

2013-2014年上期高三第三次考试

理科数学答案解析

1.【解析】选C.依题意知M={x|x<-2或x>2},
={x|-2≤x≤2},∴(
)∩N={x|1

2.【解析】选C.A正确;当x=1时,x2-3x+2=0,反之不成立,故B正确;C中,若

p∧q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故不正确;D正确.

3.【解析】选C.
故其共轭复数为-
-
i.

4.【解析】选D.若x≤1，则21-x≤2，解得0≤x≤1;若x>1，则1-log2x≤2，解得x>1，综上，x≥0.

5.【思路点拨】选
为基底,将
分别用基底表示后再求数量积.

【解析】选A.

又
·cos∠BAC=2×1×cos60°=1,所以

6.【思路点拨】运用特殊值法代入特殊点的坐标验证即可.

【解析】选A.特殊值验证即可,当x=0时,y=sin(-
)<0,排除B,D;又当x=
时,y=sin(2×
-
)=0,排除C,A符合,故选A.

7.【解析】选B.由对数函数的性质知log20.9<0,而b,c都大于0,故a最小;又
所以a

8.【解析】选D.由正弦定理得

得b+c=
[sinB+sin(
-B)]=6sin(B+
).故三角形的周长为:3+b+c=6sin(B+
)+3.

9.【规范解答】选D.由
可得
，由
，即
时，

如图，由
得图像可得：

当
时，
2，

当
时，
，

所以
的值域为
，故选D.

10.【解析】选B.设切点P(x0,y0)，

则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),

又

∴x0+a=1,∴y0=0,x0=-1,

∴a=2.

11.【思路点拨】利用
·
=0,在
=m
+n
两边同时乘以
即可.

【解析】选B.由
=m
+n
得
·
=m
·
+n
,所以1×
cos
·m+3n=0,整理得m=2n,所以
=2.

12.【思路点拨】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a>0,b>0,变形为f(x)=

sin(2x+φ),再由f(x)≤|f(
)|对一切x∈R恒成立得a,b之间的关系,然后顺次判断命题真假.

【解析】选B.f(x)=asin2x+bcos2x=
sin(2x+φ),由f(x)≤|f(
)|对一切x∈R恒成立知|f(
)|=
=|a·sin
+bcos
|=|
|,

即
=|
|,

两边平方整理得a=
b.

所以f(x)=
bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+
).

①f(
)=2bsin(
+
)=0,故①正确.

②|f(
)|=|f(
)|

=2bsin
,故②错误.

③f(-x)≠±f(x),所以③正确.

④因为b>0,所以由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z),解得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z).故④错误.

⑤因为a=
b>0,要经过点(a,b)的直线与函数f(x)图象不相交,则此直线与x轴平行,又f(x)的振幅为2b>
b,所以直线必与f(x)的图象有交点.故⑤错误.

13.【解析】由|2a+b|=|a-2b|得(2a+b)2=(a-2b)2，可得a·b=cos αcos β+

sin αsin β=cos(β-α)=0，

又0<α<β<π，所以0<β-α<π，所以
.

答案:

14.【解析】在△ABC中，由余弦定理易得
∴C=30°,∴B=30°.在△ABD中，

由正弦定理得：sj.fjjy.org

答案:

15.【思路点拨】根据函数的性质,结合图象解题.

【解析】由f(2-x)=f(x+2)可知函数周期为4,方程f(x)-loga(x+2)=0在区间(-2,6]内恰有三个不同实根等价于函数y=f(x)与函数y=loga(x+2)(a>1)的图象在区间(-2,6]内恰有三个不同的交点,

如图,需满足f(2)=f(-2)=3>loga4且loga8>f(6)=f(2)=f(-2)=3,解得

答案:(
,2)

16.【规范解答】依据题意得
在
上恒成立，

即
在
上恒成立.

当
时函数
取得最小值
，所以
，即
，解得
或
.sj.fjjy.org

【答案】

17.【解析】f(x)=a·b

=
sin2x-cos2x,

(1)由f(x)= 0得
sin2x-cos2x=0,即tan2x=
.

∵0

∴2x=
或2x=
,

∴x=
或x=
.

(2)∵f(x)=
sin2x-cos2x

=2(
sin2x-
cos2x)

=2(sin2xcos
-cos2xsin
)=2sin(2x-
),

由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
,

k∈Z得kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z,

∴f(x)的单调增区间为[kπ-
,kπ+
],k∈Z.

由上可得f(x)max=2,当f(x)=2时,由a·b=|a|·|b|cos=2

得cos