云南师大附中2015届高考适应性月考卷（三）

文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

【解析】

1．分别取
，计算可得
，故选B.

2．由题知
且
，所以
，故选B.

3．A中否命题应为“若
则
”；B中否定应为“
”；C中原命题为真命题，故逆否命题为真命题；易知D正确，故选D．

4．
，又
，
，即
，解得
，故选A.

5．
，故选A.

6．由题意可知输出结果为
，故选C.

7．由题意可得
，故
，故选C.

8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一部分，体积为

，故选D.

9．

推理得
是周期为的数列，
，故选B．

12．
，由
，得

，即
，所以
在
上恒成立.设
，因为
，所以若对称轴
，则此时满足条件，解得
．若对称轴
，即
，则此时应满足条件
，解得
，所以
．综上，满足条件的的取值范围是
，即
，故选D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案











【解析】

13．设
{人中至少有名女生}，
{人都是男生}，则
为对立事件，
.

14．由
，得
，即
，所以
，
.

15．
的图象关于直线
对称，所以

如右图可知不等式
的解集为
.

16．因为
且为
中点，所以
，因为平面
平面
，由面面垂直的性质定理可得
平面
，即
平面
．因为
，
，所以
为直角三角形，则

，令
，则

，当且仅当
，即
时取“=”.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

【注：本题题干第一行中“且
”改为“且
”，改后答案如下：】

解：（Ⅰ）
，

…………………………………………………………………………………（2分）

在
中，
，所以
，……………………（4分）

又
，所以
，所以
，即
．

……………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）
，由正弦定理得
，………………………………（7分）
，得
，……………………………………………（9分）

由余弦定理得
，

得
．………………………………………………………………………………（12分）

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是

所以平均数为
. ……………………………………………………（3分）

方差为
．………………………………（6分）

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
为正三角形，为
的中点，
.

，
.

又
平面
，………………………………………………………（3分）

，又
，

平面
. ………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：设点到平面
的距离为，

，

在
中，
为
的中点，
，

，……………………………………………………………（8分）

，在
中，

，………………………………（10分）

，点到平面
的距离为
.………………………（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为
，则由已知可得
，

所以
，即双曲线的渐近线方程为
.

设双曲线的方程为
，
.

由
得
，

则
.() ……………………………………………………（3分）

因为
，
共线且在线段
上，

所以
，

整理得：
，

将()代入上式可解得：
.

所以双曲线的方程为
．……………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由题可设椭圆的方程为：
，弦的两个端点分别为
，
，
的中点为
，

由
得
，……………………………（8分）

因为
，所以
，…………………（9分）

所以中垂直于的平行弦的中点的轨迹为直线
截在椭圆内的部分.

又这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以
，所以
，

椭圆的方程为
．…………………………………………………………（12分）

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，于是，根据题设有

解得
或
…………………………………………………………………（2分）

当
时，
，
，所以函数有极值点；

当
时，
，所以函数无极值点. ……………………………（5分）

所以
. ……………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由题意知，
对任意的
，
都成立，

所以
对任意的
，
都成立.

因为
，所以
在
上为单调递增函数或为常数函数，

①当
为常数函数时，
；

②当
为单调递增函数时，
，

即
对任意
都成立，………………………………………（10分）

又
，所以当
时，
，所以
.

所以的最小值为
. …………………………………………………………………（12分）

22.（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：
为圆的切线，
，

……………………………………………（ 10分）

23.（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）点的直角坐标为
，由题意可设的坐标为
，

则
的中点
的坐标为
，

所以
的轨迹的参数方程为
（为参数），

消去可得的普通方程为
.…………………………………（4分）

（Ⅱ）椭圆的普通方程为
，化为极坐标方程得
，

变形得
．由
可设
，

所以

（定值）． ……………………………………………………（7分）

，

易知当
时，
.……………………………………………………（10分）

24.（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）因为
，

因为
，所以当且仅当
时等号成立，

故
．……………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）当
时，若
的定义域为，

则
恒成立，即
在上无解，

又
，当且仅当
时，取等号．

．………………………………………………………………………………（10分）