云南省弥勒市2015届高三模拟测试（一）

理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数
,则
对应的点所在的象限为( )

A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限

2．若集合
,则
所含的元素个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．设随机变量
服从正态分布
,若
,则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

4．已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且其渐近线的方程为
,则该双曲线的标准方程为( )

A．
B．
C．
D．

5．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为( )

A．2 B．5 C．11 D．23

6．已知等比数列
,且
则
的值为( )

A．
B．4 C．
D．

7．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )

A．
B．
C．
D．

8．已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,

则
（ ）

A．
B．
C．
D．2

9．设函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
则
的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知直线
，平面
且
给出下列命题：

①若
∥
，则
； ②若
，则
∥
； ③若
，则
；

④若
∥
，则
。 其中正确的命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．三棱锥
中，
平面
，
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．
的外接圆半径为1，圆心为
，且
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知
,

若
，则实数

14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

15．如图，在
中，
是
边上一点，
，则
的长为



16．已知函数
集合
，集合

，则集合
的面积为

三、解答题（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列
的前
项和为
，
且

成等比数列。（1）求数列
的通项公式；

（2）设
数列
的最小项是第几项，并求出该项的值。

18．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于
小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段
，
，
，
，
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的200位学生中，参加

社区服务时间不少于90小时的学生人

数，并估计从全市高中学生中任意选取

一人，其参加社区服务时间不少于90

小时的概率；

（2）从全市高中学生（人数很多）

中任意选取3位学生，记
为3位学生

中参加社区服务时间不少于90小时的

人数．试求随机变量
的分布列和数学

期望
.

19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，
是
的中点，
⊥平面
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.



20．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点。

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，
，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲

如图所示，圆
的两弦
和
交于点
，
∥
，
交
的延长线于点
，
切圆
于点
.

(1)求证：△
∽△
；

(2)如果
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．（1）求曲线
的普通方程； （2）若点
在曲线
上，点

，当点
在曲线
上运动时，求
中点
的轨迹方程．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
,不等式
的解集为
.

(1)求
；

(2)当
时,证明:
.

弥勒市2014—2015学年高三年级模拟测试（一）

数学学科 理科试题卷参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

C

B

C

D

A

D

A

C

B

A

A



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．10

15．
16．

三、解答是（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字、证明过程或演算步骤）

17（本小题满分12分）解：（1）设公差为
，则有
，

即
或
（舍），

(2)
，

，当且仅当
时取
号，即

时取
号。

18（本小题满分12分）解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人），参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为

（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小

时的概率为
由已知得，随机变量
的可能取值为
．

所以
；
；

；
．

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















因为
～
，所以

19（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
⊥平面
，所以
.又
，
,

所以
平面
，所以
.因为
，所以四边形
是菱形，所以
，
,所以
平面
，所以
．

（Ⅱ）以
，建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
，

设
是面
的一个法向量，则
，

即
，令
，取
.

同理面
的一个法向量为
．

因为
.所以二面角
的余弦值
．

20（本小题满分12分）解：（1）由题意知
，

。又双曲线的焦点坐标为
，
，

椭圆的方程为
。

（2）若直线
的倾斜角为
，则
，

当直线
的倾斜角不为
时，直线
可设为
，

，由

设
，
，

，
，综上所述：范围为
，

21（本小题满分12分）解：（1）
，

令
当
单增，

单减

（2）令