云南师大附中2015届高考适应性月考卷（三）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

【解析】

1．分别取
，计算可得
，故选B.

2．
，当
时，
是实数，
，故选A.

3．A中否命题应为“若
则
”；B中否定应为“
”；C中原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；易知D正确，故选D．

4．
，又
，
，即

，解得
，故选C.

5．由题意可知输出结果为
，故选C.

6．
，故其对称轴为
，

，当
时，
，故选A.

7．对于①，已知其正确；由正态分布的概念的对称性可得

，故②正确；随机变量
的观测值越大，判断“与有关系”的把握越大，故③错误，所以正确的有①②两个，故选C.

8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一部分，体积为

，故选D.

9．

推理得
是周期为的数列，所以
，故选B．

10．
，故函数

上点的坐标必为
，函数
上点
的坐标必为
，故直线
的斜率为
，故选C．

11．由题意可知
则
，椭圆的方程可化为
．由
知
与渐近线垂直．不妨设在第一象限，则直线
的方程为
，与渐近线
联立可解得的坐标为
．又点在椭圆上，代入椭圆方程可得
，即
，整理得
，所以
，故选D．

12．

又当
时，
恒成立，故
在
时是增函数，结合图象可知
在
时是增函数，又
，故
的最大值在
时取得，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案











【解析】

13．由
，得
，即
，所以
，
.

14．
，二项式
展开式的通项公式为
．令
，得
，此时展开式中常数项为
．

15．函数
的图象关于点
成中心对称，函数
的图象关于点
成中心对称，即
为奇函数．不等式
，可化为
，又定义在上的函数
是减函数，
，由
得
故
即
或
作出可行域，又
，故
，利用线性规划知识可求得
的取值范围为
.

16．如图1，设
的外接球的球心为，
在球面上，球心在正方体
上下底面中心连线
上，点也在球上，
，棱长为，
，设
，则
，在
中，有
①，在
中，

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

【注：本题题干第一行中“且
”改为“且
”，改后答案如下：】

解：（Ⅰ）
，

…………………………………………………………………………………（2分）

在
中，
，所以
，……………………（4分）

又
，所以
，所以
，即
．

……………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）
，由正弦定理得
，………………………………（7分）
，得
，……………………………………………（9分）

由余弦定理得
，

得
．………………………………………………………………………………（12分）

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率为
，

芯片乙为合格品的概率为
，…………………………………………（3分）

随机变量的所有可能取值为
.

；
；

；
，

所以随机变量的分布列为























………………………………………………………………………………………（7分）

则的数学期望
．…………………（8分）

（Ⅱ）设生产的件芯片乙中合格品有件，则次品有
件.

依题意，得
，

解得
，所以
或
．……………………………………………………（10分）

设“生产件芯片乙所获得的利润不少于
元”为事件，

则
．……………………………………………………（12分）

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图2，取
的中点，连接
．

是正三角形，且为
的中点，
，
，且
．…………………………………………………（2分）

底面
是矩形，
，
.

又
，
，
．

………………………………………………………（4分）

，
平面
.

平面
，平面
平面
．………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：如图2所示，以为原点建立空间直角坐标系
，

则
，
，
．……………………………（7分）

设
，则
，
，

设
为平面
的法向量，

由

令
，得
.

易知
为平面
的一个法向量.………………………………………（9分）

二面角
的大小为
，

. ………………………（10分）

又由
，得
，
．……………………………………………（12分）

由
得
，

则
.() ……………………………………………………（3分）

因为
，
共线且在线段
上，

所以
，

整理得：
，

将()代入上式可解得：
.

所以双曲线的方程为
．……………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由题意可设椭圆的方程为：
，弦的两个端点分别为
，
，
的中点为
，

由
得
，……………………………（8分）

因为
，所以
，…………………（9分）

所以中垂直于的平行弦的中点的轨迹为直线
截在椭圆内的部分.

又这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以
，所以
，

椭圆的方程为
．…………………………………………………………（12分）

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：
，………………………………………（1分）

令
，得
，
，

即
，解得
， ………………………………………………………（3分）

故当
时，
；当
时，
，……………………………………（4分）

当
时，
取极大值，但
没有极小值.

的极大值为
．………（6分）

（Ⅱ）证明：
，又当
时，令
，则
，

故
，因此原不等式化为
，即
，…………（8分）

令
，则
，

由
，得
，解得
，

当
时，
；当
时，
，

故当
时，
取得最小值
，……………（10分）

令
，

则
.

故
，即
.

因此，存在正数
，使原不等式成立. ……………………………………（12分）

22.（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：
为圆的切线，
，

又
为公共角，
，
，

所以，
. ………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）解：
为圆的切线，BC是过点的割线，

，

又
，

又由（Ⅰ）知
，

，

连接
，
，

，

……………………………………………（ 10分）

变形得
．由
可设
，

所以

（定值）． ……………………………………………………（7分）

，

易知当
时，
.……………………………………………………（10分）

24.（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）因为
，

因为
，所以当且仅当