云南省部分2015届高三12月份统一考试数学（理）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．已知集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
为纯虚数（是虚数单位）则实数
（ ）

A． B． C．
D．

3．在
中，点在
边上，且
，
，则
= （ ）

A．
B．
C． D．

4．设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处切线的斜率为（ ）

A． B． C．
D．

5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第
项是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．在
中，若
，则
是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

7．已知实数
满足：
,
，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．过双曲线
的右顶点作斜率为
的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
．若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．如图，在四棱锥
中，侧面
为正三角形，底面
为正方形，侧面
⊥底面
，
为底面
内的一个动点，且满足
，则点
在正方形
内的轨迹为(　　)

12．已知函数
，若
，使

成立，则称
为函数
的一个“生成点”，函数
的“生成点”共有（ ）

A．个 B .
个 C .个 D .
个

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）。

13．设

，则
＝ ．

14．设
的展开式的各项系数之和为
，二项式系数之和为
，若
，则＝ .

15．将函数
的图象向左平移
个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为_ _____．

16．已知圆
与直线
相交于、
两点，则当
的面积最大时，实数的值为 　　　　 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

17．（本小题满分12分）设数列
的前项和
满足：
，等比数列
的前项和为
，公比为
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前项和为
，求证：
．

18．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球
个，现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得
分．若从这个口袋中随机的摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是
．

（1）求的值；

（2）从口袋中随机摸出个球，设
表示所摸球的得分之和，求
的分布列和数学期望
．

19．（本小题满分12分）如图，四边形
是正方形，
平面
，
，
，、
、
分别为
、
、
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的大小.

20．（本小题满分12分）已知直线
与椭圆

相交于、两点．（1）若椭圆的离心率为
，焦距为，求线段
的长；

（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．

21．已知函数
.

（1）求函数
在
上的最大值、最小值；

（2）当
，比较
与
的大小；

（3）求证：
.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知在
中，是
上一点，
的外接圆交
于，
．

（1）求证：
；

（2）若
平分
，且
，求
的长.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
：
（为参数），
：
（
为参数）．

（1）化
，
的方程为普通方程；

（2）若
上的点对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
（为参数）距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）若关于的不等式
有解，求
的最大值；

（2）求不等式:
的解集．

玉溪一中2015届第三次月考理科数学（答案）

一、选择题

D A D B B A C B D C A A

二、填空题

13、
14、 15、
16、

三、解答题

17、解：（1）∵
①，

∴
②；

②-①得，
，∴
， 3分

又∵等比数列
，
，

∴
，
，∴
，

∴数列
是为首项，为公差的等差数列，

∴
； 6分

（2）由（1）可得
，

∴
， 10分
在
时单调递增，

∴
，即
． 12分

18、解（1）由题意有
，即
，解得
； 4分

（2）
取值为
.

则
，
，

，
， 8分

的分布列为：























 10分

故
. 12分

19、解、

（1）证明：
，
分别为
，
的中点，
2分

又
平面
，
平面
，
平面
4分

（2）
平面
，

平面

平面
，
.

四边形
是正方形，
.

以为原点,分别以直线
为轴,轴,轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设
，

,

，
，
，
，
，
，

，
.

，
，
分别为
，
，
的中点，

，
，
，

，
，

设
为平面
的一个法向量，则
,

即
，令
，得
.

设
为平面
的一个法向量,则
,

即
，令
，得
.

所以
. 10分

所以平面
与平面
所成锐二面角的大小为
（或
） 12分

20、（1）
，2=2，即
∴
则

∴椭圆的方程为
， 2分

将
代入消去得：

设

∴

5分

（2）设

，即

由
，消去得：

由
，整理得：

又
，

由
，得：

，整理得：
9分

代入上式得：
，

，条件适合
，

由此得：
，故长轴长的最大值为
． 12分

21、（1）

在
上是增函数，

，
4分

（2）令

，

当
时，
；当
；

在
上是增函数，在
是减函数；

极大值为
是大值，

当
时，
，即
. 8分

（3）

，

令

将上式倒序相加

12分

22、（1）连接
，∵四边形
是圆的内接四边形，

∴
，又
，

∴
∽
，∴
，

又
，∴
5分

（2）由（1）
∽
，知
，

又
，∴
，

∵
，∴
，而
是
的平分线∴
，

设
，根据割线定理得

即
，解得
，即
． 10分

23、（1）
，
4分

（2）当
时，
，故
，

为直线
，
到
的距离
，

从而当
时，取得最小值
． 10分

24、（1）

当
，所以
，

，
，
5分

（2）由（1）可知，

当
的解集为空集；

当
时，
的解集为：
；

当
时，
的解集为：
；

综上，不等式
的解集为：
； 10分