201５年大连市高三双基测试

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）A；（2）C；（3）D；（4）A； （5）D；（6）D；（7）B；（8）C；（9）A；（10）D；

（11) C； （12）B．

二.填空题

（13）
（14）
；(15)
；16．
.

三.解答题

（17）解：(I)

，化简得
，

即
，故数列
是以1为首项，2为公差的等差数列. 6分

(Ⅱ)由(I)知
，所以
. 8分

证法一：

12分

证法二：（用数学归纳法）当
时，
，
不等式成立．

假设当
时，不等式成立，即
．

则当
时，则
，

又
，

，

原不等式成立． 12分

证法三：
，又因为
，

所以
． 12分

（18）解：（Ⅰ）系统抽样．

这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5. 2分

（Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有(0.2＋0.3)×40＝20辆，速度在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆．

记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B，

则P(A)＋P(B)＝＋＝＝. 8分

(Ⅲ)车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，设车速在[75,80)的车辆数为X，则X的可能取值为1、2、3.

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

故分布列为

X

1

2

3



P









∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为

E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 12分

（19）解：

(Ⅰ)
平面
，
平面
，

，

为正方形，
，

平面
，

平面

(Ⅱ)
平面
，
4分

以为原点，以
为轴建立如图所示的坐标系，

则
，
，
，
6分

平面
，
平面
，

，

为正方形，
，

由
为正方形可得：
，

设平面
的法向量为

，

由

，令
，则

设平面
的法向量为
，

，

由
，令
，则
，

8分

设二面角
的平面角的大小为
，则

二面角
的平面角的余弦值为
12分

（20）解：（Ⅰ）设直线
的方程为：
，点
．

联立方程组
得
，
．

. 4分

（Ⅱ）设点
,直线
，当
时，
，

同理
. 6分

因为
，
,
，

，

，抛物线
的方程
. 12分

（21）（本小题满分12分）

（1）
，则

令
，则























极大值





故函数
的增区间为
；减区间为
.

当
，即
时，
，

当
时，即
时，
，

当
时，即
时，
. 8分

(3)若函数
有两个零点，则
，即
，

而此时，
，由此可得
，

故
，即
，

又

. 12分

(22) 证明：（Ⅰ）连结
，∵
四点共圆，∴
．

又∵
,∴
，∴
四点公圆． 5分

（Ⅱ）法一：连结
∵
，
，

∴
∽
，
，∴
． 10分

法二：连结
．由（Ⅰ）知
，∴
，又∵
，∴
∽
．∴
，∴
，

， ∴
． 10分

(23)解：（Ⅰ）直线
的极坐标方程为：
，

曲线
的参数方程为
为参数）． 5分

（Ⅱ） 曲线
的点
到直线
：
的距离

．

则
，
．

当
时，
；

当
时，
． 10分

(24)证明：因为
是正实数，所以
，当且仅当
，即
时，等号成立；

同理：
，当且仅当
，即
时，等号成立．

所以
，

当且仅当
时，等号成立．

因为
，所以
. 10分