豫西名校2015届高三上学期期末考试

理科数学参考答案

一、选择题

BDCBA BCCDA BD

二、填空题

13. 10 14. 15.  16. ①②③

三、解答题

17.解：（1）因为
，

…… 4分

;

所以
（定值）

（2）由（1）可知A，B为锐角，则
，

.

(当且仅当
成立)

所以
的最大值为
，此时三角形的形状为等腰三角形. ……………12分

18.解：（1）记“乙取得参加复试的资格”为事件A，则：

，故乙取得参加复试的资格的概率是
…………5分

（2）据题意，三个人中取得复试的资格的人数
的取值分别为0，1，2，3.………6分

，
，

,
.……………………10分

的分布列为：

0

1

2

3



p












.……………………………………12分

19.解：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE∥CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB. ………………1分

∵BE=1,
∴
，

从而
. …………2分

∵⊙的半径为
，∴AB是直径，

∴AC⊥BC. ………………3分

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD.

∵BC平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE.………………6分

（2）方法一：

假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF

∵平面ADC平面BCDE，

∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角. ……9分

设MN=x，计算易得，DN=
，MF=
. ………………10分

故
.

.

解得,
（舍去） 或
， ………11分

故
，从而满足条件的点
存在，且

.……………………12分

方法二：以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），

………………………………8分

易知平面ABC的法向量为
，

假设M点存在，设
，则
，

再设
.

， 即
，

从而
…………10分

设直线BM与平面ABD所成的角为
，则：

……………11分

解得
，其中
应舍去，而
.

故满足条件的点M存在，且点M的坐标为
. ………………12分

20．解：(1)由题意知⊙M的圆心M的坐标为(4．O)，半径为1．抛物线C的准线方程为
，

∵圆心M到抛物线C的准线的距离为
，

∴
，解得
. ……………2分

抛物线C的方程为
. ………………3分

(2)∵∠AHB的角平分线垂直于x轴，点H(4，2)，

由题意知，直线HE与直线HF斜率均存在且不为0，

设直线HE的斜率为k，则直线HF的斜率为－k.

那么，直线HE的方程为
，……………4分

联立
消去x，得

.

∴
，
.……………6分

即E(
，
)，同理可求F(
，
).

∴
. ……………7分

(3)由题意可设点A、B的坐标分别为
，
，

连接MA、MB，则
，
.

HA、HB是OM的切线，
，
.

，
. …………8分

直线HA、HB的方程分别为
，

又点H在抛物线上，有
.

点H的坐标为
，分别代入直线HA、HB的方程得

，

可整理为

，

从而可求得直线AB的方程为

令x＝O，得直线AB在y轴上的截距
．…………10分

考虑到函数
为单调递增函数，

……12分

21.解：(1)由题知
的定义域为
……………1分

因为
，

所以函数
的单调递增区间为
和

的单调递减区间为
……………3分

(2)因为
在
上的最小值为
，且

……………5分

故
在
上没有零点．

从而，要想使函数
在

上有零点，并考虑到
在
上单调递增，且在
上单调递减，故只需
且
即可．……………6分

易验证

……………7分

当
且
时均有
．

即函数
在
（
）上有零点．

所以n的最大值为－2．……………8分

(3)要证明
．即证

，

只须证
在
上恒成立．……………9分

令
．由

得
．则在x＝1处
有极大值（也是最大值）.

．所以

在
上恒成立，……………10分

因此
．于是有

所以，

. ……………12分

请考生从第22、23、24题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

∴AD2＝DE×DG，AD2＝DF×DH,

∴DE×DG＝ DF×DH, ∴
，

又∵∠EDF＝∠HDG，

∴△DEF∽△DHG.………………………4分

（2）连结O1 A，O2A，

∵AD是两圆的公切线，

∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC，

∴DG⊥DH，∴AD2＝ O1A×O2A，………………………8分

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD＝12x，

∵AD2＝DE×DG，AD2＝DF×DH，

∴144x2＝DE（DE＋18x），144x2＝DF（DF＋32x）

∴DE＝6x，DF＝4x，∴
.………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

.解：（1）曲线C的直角坐标方程为
，

即
.

直线
的普通方程为x－y＋4
＝0. ……………… 4分

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的
倍，得

，

即
.

再将所得曲线向左平移1个单位，得
：
. ……………… 6分

又曲线
的参数方程为
（
为参数），设曲线
上任一点

则

d＝
.（其中
）……9分

点到直线
的距离的最小值为
.…………10分

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解：（1）①当
时，原不等式化为
，解得，
；

∴

②当
时，原不等式化为
，无解；

③当
时，原不等式化为
，解得，
；

∴

综上，不等式
的解集为{x|
或
}.…………5分

（2）
，…………7分

要证
成立

只需证
，

即证
，

即证
，

即证
，

即证
，

即证
，

又
，

∴
.

故原不等式成立. …………10分