2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

C

D

D

A

B

A

C

B

D

C



二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）
（14）40 （15） 2 （16）

三、解答题

(17) 解：（Ⅰ）由已知可得
，消去
得：
，

解得
或
（舍），…………………………………………………………………………3分

，从而
.…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
.

.①

.②

①-②得

所以
..…………………………………………………………………………12分

(18)解：（Ⅰ）由题意知，区域D在圆内，如图所示．设“在圆C内部或边界上任取一点，求点落在区域内”为事件A，由于圆C的面积为
，而区域D的面积为
，由几何概型概率计算公式可得,在圆C内部或边界上任取一点，落在区域内的概率
…………………6分

（Ⅱ）设“在圆C内部或边界上任取一整点，整点落在区域内”为事件

B，由圆C的对称性，第一象限内及x轴正半轴上的整点有

共计20个，所以圆C内部或边界上整点共计
个，其中落在区域内的整点在x轴上方的有

共计16个，根据区域D关于x轴对称，故落在区域内的整点有
个，所以圆C内部或边界上任取一整点，整点落在区域内的概率
……………………………………………12分

(19)解：（Ⅰ）在图1中，

因为CD为
的平分线，所以
…………………………2分

则
，所以
………………………………………………4分

在图2中，又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，

所以
平面
.……………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）在图2中，作
于H，因为平面
平面
，平面
平面
，

平面
，所以
平面
.……………………………………………………………8分

在图1中，由条件得
…………………………………………………………………………9分

所以三棱锥
的体积

……………………………………12分

(20) 解：（Ⅰ）因为
其定义域为

由
得
的单调递增区间为
，

由
得
的单调递减区间为
………………………………………………6分

（Ⅱ）函数
在
上有两个零点,等价于
与
在
上有两个不同的交点.由
得
，
得
，所以当
时
有极大值,即最大值

又
且
，所以实数的取值范围为
.……………12分

(21) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，
，即
. ……………………………………………………1分

由
得，
，所以
，从而
.………………………………………4分

故椭圆方程为
.………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）显然直线
的斜率存在，故设其方程为
，又设

由
得

由韦达定理得
………………………………………………………………………7分

因为
，由
得
.

代入椭圆方程得
，与
联立消去
得
.

同理可得
，所以

所以
，解之得
，所以

所求直线方程为
，

即
或
…………12分

（22） 证明：（Ⅰ）连接
,
,因为
为直径，则

，

因为
分别为
的中点，所以
∥
，

所以
.

因为
,则
,且
，

所以
≌
.

所以
.

所以
四点共圆. ……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）设圆的半径为，因为
，所以
是圆的切线，

所以

.

故
.………………………………………………………………10分

23．解：（Ⅰ）由直线
的参数方程为
消去参数得
.

曲线
的极坐标方程为
，展开得
，化为直角坐标方程得
，即
.……………………………………………………5分

（Ⅱ）因为圆
的直角坐标方程
，圆心为
，

则圆心到直线
的距离
，

化简得
，解之得
或
…………………………………10分

24．解：（Ⅰ）

等号成立条件为
，而
，所以
…………………………………5分

（Ⅱ）由均值不等式得
.

三式相加得

所以
……………………………………………………………………10分