2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

D

A

C

D

C

B

B

D

C



二、填空题（每小题5分，共20分）

（13） 40 （14）
（15）
（16）①②③

三、解答题

(17) 解：（Ⅰ）由
,得
.

因为
，所以
.

因为
，又
，

所以数列
是首项为2，公比为
的等比数列.……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，则
.

,①

.②

①-②得：

.

所以
.……………………………………………………………………………12分

(18) 解：（Ⅰ）设“该射手通过测试”为事件A，“向甲靶射击两次都命中”为事件B，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C.事件B，C互斥，且
.

所以该射手通过测试的概率
………………5分

（Ⅱ）由题意，
. ……………………………………………………………………………6分

……9分

所以该射手在这次测试中命中的次数
的分布列为

0

1

2













该射手在这次测试中命中的次数
的数学期望为
……………12分

(19)解：（Ⅰ）在图1中，

因为CD为
的平分线，所以
…………………………2分

则
，所以
………………………………………………4分

在图2中，又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）在图2中，作
于H，因为平面
平面
，平面
平面
，

平面
，所以
平面
……………7分

以点H为坐标原点，HC为y轴，HB为z轴建立如图所示

的空间直角坐标系
.则

…………………8分

设平面
的一个法向量为
，则

所以

即
取
,得
.……9分

又平面
的一个法向量为
, ………10分

设二面角
的大小为
，则

所以二面角
的余弦值为
.…………………………………………………………12分

(20) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，
，即
.……………………………………………………1分

又设
，则

把
代入得
所以
. ……………………………………4分

故椭圆方程为
.……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）显然直线
的斜率存在，故设其方程为
，又设

由
得

由韦达定理得
…………………………………………………………………7分

因为
，由
得,
.

代入椭圆方程得
，与
联立消去
得
.

同理可得
，所以

所以
，解之得
，所以

所求直线方程为
，即
或
…………………………12分

（21） 解：（Ⅰ）因为
其定义域为
………………………………………1分

由
得
的单调递增区间为
， ……………………3分

由
得
的单调递减区间为
……………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，
的最小值为
； ……………………7分

令
，则
，

由
得函数
在区间
上单调递增；由
得函数
在区间
上单调递减.

所以
…………………………………………………………………11分

所以当
时，
，整理即得
…………12分

（22） 证明：（Ⅰ）连接
,
,因为
为直径，则
，

因为
分别为
的中点，所以
∥
，所以
.

因为
,则
,且
，

则
，所以
，

所以
四点共圆. ………………………5分

（Ⅱ）设圆的半径为，因为
,所以
是圆的切线.

所以

故
………………………10分

（23）解：（Ⅰ）由直线
的参数方程为
，消去参数得
.

曲线
的极坐标方程为
，展开得
，化为直角坐标方程得
，即
.……………………………………………………5分

（Ⅱ）因为圆
的直角坐标方程
，圆心为
，

所以圆心到直线
的距离
，

化简得
，解之得
或
………………………………10分

（24）解：（Ⅰ）

等号成立条件为
，而
，∴
………………………………5分

（Ⅱ）由均值不等式得
.

三式相加得

所以
……………………………………………………………10分