2014-2015学年度高三第二次大练习

数学(理科）参考答案

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.

　　1、C　2、C　3、A　4、B　5、D　6、C　7、C　8、D　9、D　10、A　11、A　12、C

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

　　13、
　　　14、
　　　15、4　　　16、3

三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

解：（１）设等差数列
的公差为
，则依题设
．

　　　　　　由
,可得
．

　　　　　由
，得
，可得
．

　　　　　所以
．

　　　　　可得
．……………………………4分

　　（２）设
，则
.

　　　　　即
，

　　　　　可得
，且
．

　　　　　所以
，可知

．………………8分

　　　　　所以
，

　　　　　所以数列
是首项为，公比为的等比数列．

　　　　　所以前项和
．　…………………………12分

18. （本小题满分12分）

解：（１）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A，则

　　
………………………………………6分

（２）
可能的取值为0，3，6；则

　　甲两场皆输：

　　甲两场只胜一场：

甲两场皆胜：
，

的分布列为：

…………………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（１）证明：连接BM，则AM=BM=
，所以

又因为面
平面
，

所以，
…………………………………………4分

（２）建立如图所示的空间直角坐标系

由（１）可知，平面ADM的法向量

设平面ABCM的法向量
，

所以，

…………………………………………10分

二面角
的余弦值为

得，
，即：E为DB的中点。 …………………………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（1）椭圆C的方程为
……………………………………4分

（2）联立
消得

，即
………………6分

设Q(
），
，则

由韦达定理有

直线
的方程为

令
，得

将①，②代人上式得
，…………………………………………9分

又

=

=

=18

=18

当
时取得. ………………………………………………12分

21.（本小题满分12分）

(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－
(x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，由f′(x)>0，得x>
；由f′(x)<0，得0

所以函数f(x)的单调增区间为
，单调减区间为
. …………….4分

(2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点

则a>0，且f(x)的最小值f
<0，即－a2＋4a－4a ln
<0.

因为a>0，所以a＋4ln
－4>0.令h(a)＝a＋4ln
－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，

且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln
－1＝ln
－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.

当a>a0时，h(a)>0；当0

(3)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.

不妨设0

两式相减得
－(a－2)x1－alnx1－
＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，

即
＋2x1－
－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．

所以a＝
.因为f′
＝0，

当x∈
时，f′(x)<0， 当x∈
时，f′(x)>0，

故只要证
>
即可，即证明x1＋x2>
，

即证明
－
＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)<
＋2x1－
－2x2，

即证明ln
<
.设t＝
(0

令g(t)＝lnt－
，则g′(t)＝
.

因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．

又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)时，g(t)< 0总成立．所以原题得证 ………………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：（1）∵
,

∴
∽
,∴
……………………………………3分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴

又∵
，∴
． ………………………………5分

（2）∵
,

∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
. …………………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
． ……………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）消去参数得直线的直角坐标方程：
---------2分

由
代入得

.

（ 也可以是：
或
）---------------------5分

（2
得

-----------------------------7分

设
，
，

则
.---------10分

（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解：（1)记
，

由
解得：
，

即
……………………………………………………3分

所以，
; ……………………5分

（2）由（1）得：
，
，

因为

………………9分

故
，即
……………………10分