2015年六市一模数学试题（文）

第Ⅰ卷

一．选择题：

1．已知集合
则
( C)

A．
B．
C．
D．

2．如果复数
(其中为虚数单位，
为实数)的实部和虚部互为相反数，那么
等于( C)

A．
B．
C．
D．2

3．在等差数列
中，首项
公差
，若
，则
（A ）

A．
B．
C．
D．

4．.函数
的图象大致是（ B）

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 ( D ).

A．3 B．4

C．6 D．8

6. 设
，
，
，则有（D ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知正数x,y满足
，则
的最小值为( C )

A．1 B．
C．
D．

8. 将奇函数
的图象向左平移
个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为( A )

A.6 B.3 C.4 D.2

9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是（D）

A．1 B．2 C．3 D．4

10.在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
的值为（ A）

A．
B.
C．
D．

11．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：
，则a的值等于（D）

A．
B．
C．1 D．4

12. 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．

x

－1

0

2

4

5



f(x)

1

2

1.5

2

1



下列关于函数f(x)的命题：

①函数f(x)的值域为[1，2]；

②函数f(x)在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．

其中正确命题的个数为（D ）

A． 0 B． 1 C．2 D．3

第Ⅱ卷

填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13. 已知向量
,其中
,
,且
,则向量和
的夹角是_______.

14. 已知三棱锥
的所有棱长都等于1，则三棱锥
的内切球的表面积 .

15. 过椭圆
的中心任作一直线交椭圆于
两点，是椭圆的一个焦点，则△
面积的最大值是 .12

16. 已知函数
（为常数，为自然对数的底数）的图象在点
处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是　

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足：

，求数列
的前项和
.

【解析】（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，则依题设
．

　　　　　　由
,可得
．

　　　　　由
，得
，可得
．

　　　　　所以
．

　　　　　可得
．……………………………6分

　　（Ⅱ）设
，则
.

　　　　　即
，

　　　　　可得
，且
．

　　　　　所以
，可知

．

　　　　　所以
，

　　　　　所以数列
是首项为，公比为的等比数列．

　　　　　所以前项和
．　…………………………12分

18.（本小题满分12分）

某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组

频数

频率



第1组

[60,70)

M

0.26



第2组

[70,80)

15

p



第3组

[80,90)

20

0.40



第4组

 [90,100]

N

q



合计

50

1






（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；

（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；

（Ⅲ）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.

【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分



………………4分

（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为
（人）……7分

（Ⅲ）记获一等奖的6人为
，其中
为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：

，
，
，
，
，

，
，
，
，
，

，
，
，
，
， ………9分

女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:

，
，
，
，

，
，
，
，

所以恰有1名女生接受采访的概率
. ………12分

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点.

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.zxxk.c.o.m

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.zxxk.c.o.m

使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

【解析】

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意
。在正方形ABCD中，
，所以
,得
………5分

（Ⅱ）在棱SC上存在一点E，使

设正方形边长，则
由SD⊥平面PAC可得
，故可在
上取一点
,使
,过
作
的平行线与
的交点即为。连BN。在
中知
，又由于
,

故平面
，得
,由于
,故
.………12分

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系O中，已知圆
和圆
.

（I）若直线
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线的方程；

（II）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线
和
，它们分别与圆
和圆
相交，且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

【解析】 (1)设直线
的方程为：
，即
，

由垂径定理，得：圆心
到直线
的距离

由点到直线距离公式，得：
化简得：
，解得
或
。

当
时，直线的方程为
；

当
时，直线的方程为
，即
.

∴所求直线的方程为
或
. ………………………………………………6分

(2) 设点P坐标为
，直线
、
的方程分别为：
，

即：
.

∵直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，两圆半径相等，

∴由垂径定理，得：圆心
到直线
与
直线
的距离相等.

∴
，

化简得：
或
.

∵关于
的方程有无穷多解，∴
或
。

解之得：点P坐标为
或
.…………………………………12分

21.（本小题满分12分）

已知函数
，
（a为实数）．

(Ⅰ) 当a=5时，求函数
在
处的切线方程；

(Ⅱ) 求
在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

(Ⅲ) 若存在两不等实根
，
，使方程
成立，求实数a的取值范围．

【解析】(Ⅰ)当
时
,
.

，故切线的斜率为
.

所以切线方程为:
,即
. ………4分

(Ⅱ)
,





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增





①当
时,在区间
上
为增函数,

所以

②当
时,在区间
上
为减函数,在区间
上
为增函数,

所以
………8分

(Ⅲ) 由
，可得：
，

,

令
,
.





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增




,
,
.

.

实数的取值范围为
. ………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

【解析】（Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
……………………………………3分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴

又∵
，∴
． ………………………………5分

（Ⅱ）∵
,

∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
. …………………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
． ……………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，直线的参数方程是
（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于、B两点，求

【解析】（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：
---------2分

由
代入得

.

（ 也可以是：
或
）---------------------5分

（Ⅱ）
得

-----------------------------7分

设
，
，

则
.---------10分

（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设不等式
的解集为
,
.

（Ⅰ证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小.

【解析】（I)记
，

由
解得：
，

即
……………………………………………………3分

所以，
; ……………………5分

（II）由（I）得：
，
，

因为

………………9分

故
，即
……………………10分