2015年六市联考一模数学试题（理）

第Ⅰ卷

一．选择题：

1．已知集合
则
( C)

A．
B．
C．
D．

2．如果复数
(其中为虚数单位，
为实数)的实部和虚部互为相反数，那么
等于( C　)

A．
B．
C．
D．2

3．在等差数列
中，首项
公差
，若
，则
（A ）

A．
B．
C．
D．

4．.函数
的图象大致是（ B）

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 (D ).

A．3 B．4

C．6 D．8

6.函数
为奇函数，该函数的部分图像如 右图所示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为
，则该函数图像的一条对称轴为（C ）

A．
B．
C.
D．

7. 已知正数x，y满足
，则
的最小值为( C )

A．1 B．
C．
D．

8.若
，
，则
的值为（D ）

A．
B．
C．
D．

9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个 几何体的体积是（D）

A．1 B．2

C．3 D．4

10.在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
的值为（A）

A．
B.
C．
D．

11．设双曲线
的右焦点为，过点作与轴垂直的直线
交两渐近线于
两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若
，则双曲线的离心率为（ A）

A．
B．
C．
D．

12.若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数
的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数
的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数
，则
的“姊妹点对”有 （C ）

A． 0个 B． 1个 C．2个 D．3个

第Ⅱ卷

填空题：

13.己知
，则
的展开式中的常数项为_____________．

14.已知三棱锥
的所有棱长都相等1，则三棱锥
的内切球的表面积 ．

15.已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：
，则a的值等于 ．4

16. 已知
，
，对任意的c＞1,存在实数
满足

，使得
，则k的最大值为 ．3

三、解答题：

17.（本小题满分12分）

已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足：

，求数列
的前项和.

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，则依题设
．

　　　　　　由
,可得
．

　　　　　由
，得
，可得
．

　　　　　所以
．

　　　　　可得
．……………………………4分

　　（Ⅱ）设
，则
.

　　　　　即
，

　　　　　可得
，且
．

　　　　　所以
，可知

．………………8分

　　　　　所以
，

　　　　　所以数列
是首项为，公比为的等比数列．

　　　　　所以前项和
．　…………………………12分

18. （本小题满分12分）

在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为
.

（I）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；

（II）设在该次比赛中，甲队得分为
的分布列和数学期望.

【解析】

（I）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A，则

　　
………………………………………6分

（II）
可能的取值为0，3，6；则

　　甲两场皆输：

　　甲两场只胜一场：

甲两场皆胜：
，

的分布列为：

…………………………12分

19. （本小题满分12分）

如图，已知长方形
中，
,
为
的中点.将
沿
折起，使得平面
平面
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若点是线段
上的一动点，问点E在何位置时，二面角
的余弦值为
．

解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=
，所以

又因为面
平面
，

所以，
…………………………………………4分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系

由（I）可知，平面ADM的法向量

设平面ABCM的法向量
，

所以，

…………………………………………10分

二面角
的余弦值为

得，
，即：E为DB的中点。 …………………………………………12分

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为
，离心率
，P为椭圆上任意一点，
的周长为6．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点S（4,0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为
，过点
与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）椭圆C的方程为
……………………………………4分

（Ⅱ）联立
消得

，即
………………6分

设Q(
），
，则

由韦达定理有

直线
的方程为

令
，得

将（1），（2）代人上式得
，…………………………………………9分

又

=

=

=18

=18

当
时取得. ………………………………………………12分

21.（本小题满分12分）

设函数
．

(I)求函数
的单调区间；

(II)若函数
有两个零点，求满足条件的最小正整的值；

(III)若方程

,有两个不相等的实数根
、
，求证：
.

(I)解：f′(x)＝2x－(a－2)－
(x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，由f′(x)>0，得x>
；由f′(x)<0，得0

所以函数f(x)的单调增区间为
，单调减区间为
. …………….4分

(II)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点

则a>0，且f(x)的最小值f
<0，即－a2＋4a－4aln
<0.

因为a>0，所以a＋4ln
－4>0.令h(a)＝a＋4ln
－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，

且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln
－1＝ln
－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.

当a>a0时，h(a)>0；当0

(III)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.

不妨设0

两式相减得
－(a－2)x1－alnx1－
＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，

即
＋2x1－
－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．

所以a＝
.因为f′
＝0，

当x∈
时，f′(x)<0， 当x∈
时，f′(x)>0，

故只要证
>
即可，即证明x1＋x2>
，

即证明
－
＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)<
＋2x1－
－2x2，

即证明ln
<
.设t＝
(0

令g(t)＝lnt－
，则g′(t)＝
.

因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．

又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立．所以原题得证 ………………12分

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

解：（Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
……………………………………3分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴

又∵
，∴
． ………………………………5分

（Ⅱ）∵
,

∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
. …………………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
． ……………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，直线的参数方程是
（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于、B两点，求
.

解：（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：
---------2分

由
代入得

.

（ 也可以是：
或
）---------------------5分

（Ⅱ）
得

-----------------------------7分

设
，
，

则
.---------10分

（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设不等式
的解集为
,
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与