南京市2015届高三数学考前综合训练题

一、填空题

1．数列{an}为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2＝T8，则T10＝ ．

【答案】1

【提示】法一：由T2＝T8得a3·a4·…·a8＝1，则(a3·a8)3＝1，a3·a8＝1．

从而T10＝a1·a2·…·a10＝(a1·a10)5＝(a3·a8)5＝1；

法二：(特殊化思想)，取an＝1，则T10＝1．

【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{an}为正项等比数列，其前n项的乘积为Tn，若Tm＝Tn，则Tm＋n＝1；可类比：{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若Sm＝Sn，则Sm＋n＝0．(其中m，n∈N*，m≠n)．

2．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为5．若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB，切点为B，则AB的最小值是________．

【答案】．

【提示】由P到直线l的最大距离为5，得圆心C到直线l的距离为3，从而直线l与圆C相离．

过A引圆C的切线长AB＝＝≥＝．

【说明】点?直线与圆的相关问题常转化为圆心与点?直线问题．

3．已知直线l：x－2y＋m＝0上存在点M满足与两点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率kMA与kMB之积为－，则实数m的值是___________．

【答案】[－4，4]．

【提示】点M的轨迹为＋＝1(x≠±2)．把直线l：x＝2y－m代入椭圆方程得，

16y2－12my＋(3m2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m≤4．

【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．

4．已知数列{an}为正项等差数列，满足＋≤1(其中k∈N*且k≥2)，则ak的最小值为_________．

【答案】．

【提示】因为{an}为正项等差数列，则ak＝≥·(＋)

＝·(5＋＋)≥·(5＋2)＝(当且仅当＋＝1，且＝，

即a1＝3，a2k－1＝6时取“＝”号)．

【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．

5． 以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________．

【答案】3

【提示】过A作AD⊥BC，垂足为D，

则·＝||||cosB＝BDBC＝3BD＝12，

所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．

设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝＝≤，

且仅当y＝，即y＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．

【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法?基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．

6．计算：4sin20(＋tan20(＝ ．

【答案】．

【提示】原式＝4sin20(＋＝＝＝

＝＝．

【说明】切化弦?向特殊角转化?向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路．

7．设α是锐角，且cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为 ．

【答案】

【提示】因为α是锐角，所以＜α＋＜，因为cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝．

sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝．

sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝．

【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．

8．等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q＝3，an＋an＋1＋…＋am＝720(m，n∈N*，m＞n)，则m＋n＝ ．

【答案】9．

【提示】因为an＝2·3n－1，则an＋an＋1＋…＋am＝＝3n－1·(3m－n＋1－1)＝720＝32×24×5，

则，解得n＝3，m＝6，则m＋n＝9．

【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．

9．已知函数f (x)＝，若任意实数b，总存在实数x0，使得f (x0)＝b，则实数a的取值范围

是 ．

【答案】－5≤a≤4．

【提示】“任意实数b，总存在实数x0，使得f (x0)＝b”等价于函数f (x)的值域为R．

在平面直角坐标系xOy中，分别作出函数y＝x＋4及y＝x2－2x的图像，

观察图像可知－5≤a≤4．

【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．

10．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，

则实数a的取值范围是 ．

【答案】（－∞，－2）

【提示】解法一：若a＝0，解得x＝±，不合题意．

若a＞0，则f (－1)＝－a－2＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x)存在负的零点，不合题意．

若a＜0，则f ′(x)＝3ax(x－)，可得f ()＝1－为极小值，则满足1－＞0，

解得a＞2或a＜－2．此时，取得a＜－2．

综上，a的取值范围是（－∞，－2）．

解法二：f (x)＝0，即ax3＝3x2－1，分离参数a＝－，同样可得a＜－2．

【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．

11．设函数f(x)＝lnx＋，（m∈R），若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围是 ．

【答案】[，＋∞）．

【提示】对任意的b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．

函数h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x在(0，＋∞)是单调减函数，

即h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－(x－)2＋（x＞0）恒成立，解得：m≥．所以m的取值范围是[，＋∞）．

【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．

二、解答题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanA＝．设向量x＝(3a，cosA)，y＝(2c ，cosC)，且x∥y．

（1）若b＝，求c2－a2的值；

（2）求B的值．

解：（1）因为x∥y，所以3acosC＝2ccosA．用余弦定理代入，化简可得：b2＝5(c2－a2)．

因为b＝，所以c2－a2＝1．

（2）因为3acosC＝2ccosA，由正弦定理得：3sinAcosC＝2sinCcosA，即3tanA＝2tanC．

因为tanA＝，所以tanC＝，

从而tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－1．

因为B∈(0，π)，所以B＝．

【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式．能够根据题目的要求正确实现边角互化．

2．三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．

（1）若·≤2S，求A的取值范围；

（2）若tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，且c＝1，求b．

解：（1）由题意知，·＝bccosA，S＝bcsinA，

所以bccosA≤bcsinA，即cosA≤sinA，

（或也可根据cosA的正负，转化为关于tanA的不等式）．

即sinA－cosA≥0，2sin(A－)≥0．

因为A为三角形内角，则A－∈(－，)，所以0≤A－＜，从而A∈[，π)．

（2）设tanA＝m，tanB＝2m，tanC＝3m，由题意知，m＞0．

因为tanC＝－tan(A＋B)＝－  ，则3m＝－  ，

解得m＝1，则tanB＝2，tanC＝3，从而sinB＝，sinC＝，

所以＝＝，则AC＝．

【说明】本题第（1）问考查数量积?三角形面积公式?两角和差公式及简单的三角不等式．

第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A，B，C满足的一个恒等式(tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC)．

还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37(＋tan23(＋tan37(·tan23(等问题．

3．某高速公路收费站出口处依次有编号为1?2?3?4?5的五个收费窗口．

（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少?

（2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：

排队车辆数

0

1

2

3

4

≥5



概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04



①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少?

②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?

解：（1）记事件A为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i，j，k)表示编号分别为i，j，k的三个收费窗口开放．

则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，

(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共10个基本事件；

而事件A包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，

共6个基本事件．因此P(A)＝＝．

答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为．

（2）记事件Bi为“该收费窗口处有i辆车排队等侯”，其中i＝0，1，2，3，4，5．

则由题意知，上述6个事件为互斥事件．

记事件C为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”，

事件D为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”．

则P(C)＝P(B0＋B1＋B2)＝ P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，

P(D)＝P(B3＋B4＋B5)＝ P(B3)＋P(B4)＋P(B5)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．

（另解：由题意知事件C，D为对立事件，则P(D)＝P()＝1－P(C)＝0.44）

答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44．

【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述．

4．如图，四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，三角形BCD为正三角形．

（1）当∠BAD＝时，设＝x ＋ y，求x，y的值；

（2）设∠BAD＝α，则当α为多少时，四边形ABCD的面积S最

大，并求出最大值．

解：（1）在△ABD中，由于AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，

易得BD＝，∠ABD＝，∠ADB＝，∠ABC＝，∠ADC＝．

下面提供三种解法：

法一：如图，过点C作CE//AD交AB于点E，在△BCE中，BC＝，∠ABC＝，∠BEC＝，

则CE＝2，BE＝1，则AE＝1，所以＝＋＝＋2，即

法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图直角坐标系．

则D(，)，B(2，0)，C(2，)，则＝(2，)，＝(2，0)，从而＝(，)，

则，解得

法三：因为·＝x2＋y·＝4x＋y，又·＝(＋)·＝2＋·＝4，

则4x＋y＝4．

因为·＝x·＋y2＝x＋y，

又·＝(＋)·＝2＋·＝1＋1××cos＝，则x＋y＝．

从而，解得

（2）在△ABD中，由余弦定理知，BD＝，则S△ABD＝sinα，S△BDC＝BD2＝(5－4cosα)，

则S＝ sinα－ cosα＋ ＝2sin(α－ )＋，α∈(0，π)，

所以Smax＝2＋，此时α－ ＝，即α＝．

【说明】第（1）问考查平面向量基本定理，将向量用基底，线性表示．此类问题通常的处理方法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”分解；将向量用坐标表示；将向量与基底进行运算（数量积?平方等）．第（2）问考查三角形面积?三角恒等变换及三角函数在给定区间上的最值问题．

5．某隧道长2150m，通过隧道的车辆速度不能超过20m/s．一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流量的需要，当0＜x≤10时，相邻两车之间保持20m的距离；当10＜x≤20时，相邻两车之间保持(x2＋x)m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(s)．

（1）将y表示为x的函数；

（2）求车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．(≈1.73)．

解：（1）当0＜x≤10时，y＝＝(s)；

当10＜x≤20时，y＝＝

＝18＋9x＋(s)．

所以y＝

（2）当x∈(0，10]时，在x＝10时，ymin＝＝378(s)．

当x∈(10，20]时，y＝18＋9x＋≥18＋2＝18＋180≈329.4(s)．

当且仅当9x＝，即x＝10≈17.3时取等号．

因为17.3∈(10，20]，所以当x＝17.3m/s时，ymin＝329.4(s)．

因